微積分的一些問題(解題and翻譯題目) 3題(20點)

Question

解題順便翻譯一下題目謝謝!!

Determine the intervals where the graph of the given function is concave up and csncave down.

1. f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1

Find all critical number and use the Second Derivative Test to determine
all local extrema.

2. f(x) = x^4 + 4x^3 - 1

3.
Find the point on the curve y= x^2 closest to the point ( 0 , 1).

Answer 1

決定出圖形凹向上和凹向下的區間。
1. f(x) = x - 3x + 4x - 1
f'(x) = 3x - 6x + 4
f''(x) = 6x - 6
當 x < 1 時 f''(x) < 0 即 x 在 (-∞ , 1) 時，圖形凹向下。
當 x > 1 時 f''(x) > 0 即 x 在 (1 , +∞) 時，圖形凹向上。



找出所有臨界值，並利用二階導數測試決定所有的局部極值。
2. f(x) = x4 + 4x - 1
f'(x) = 4x + 12x
令 f'(x) = 0 得 x= 0，-3為臨界值
f''(x) = 12x + 24x
f''(0) = 0 知 x= 0時非極值 (是反曲點)
f''(-3) = 36 > 0 知 x= -3 處 f 有極小值 (-3)4 + 4(-3) - 1 = - 28



3. 找出y=x上最接近(0, 1)的點。
d=√((x - 0) + (y - 1))
d = f(x) = x + (x - 1) = x + x4 - 2x + 1 = x4 - x + 1
現在求出x使得d 為最小即d為最小
f'(x) = 4x - 2x
令f'(x) = 0得 x= 0或 1/√2
f''(x) = 12x - 2
f''(0) = - 2 < 0 有極大
f''( 1/√2) = 4 > 0 有極小
故最接近點為( 1/√2, 1/2)，(- 1/√2, 1/2)

2006-12-17 15:34:12 補充：
真抱歉啊!我沒注意到很多次方和符號都變不見了:
1. f(x)=x³-3x²加4x-1
f'(x) = 3x²-6x加4
2. f(x) = x^4加4x³-1
f'(x)=4x³加12x²
f''(x)=12x²加24x
極小值(-3)^4加4(-3)³-1=-28
3. d=√((x-0)²加(y-1)²)
d²=f(x)=x²加(x²-1)²=x²加x^4-2x²加1=x^4-x²加1
現在求出x使得d²為最小即d為最小
f'(x)=4x³-2x
令f'(x)=0得x=0或正負1/√2
f''(x)=12x²-2