Para os Bambambans!?

Question

Suponha que em um certo país, para uma empresa derrubar X arvores, ela pode agir de duas formas:
1) Pagar uma quantia de (4 + 2*X) em moeda local para fazer uma solicitação, ou:
2) Pagar 3 em moeda local para repetir uma solicitação já feita por ela anteriormente.
Qual seria o procedimento ideal para uma empresa que nunca fez nenhuma solicitação derrubar a maior quantidade de arvores gastando o menor dinheiro possivel?

Ex: Se a empresa fizer uma solicitação pagando 12 $, ela poderá derrubar 4 árvores. Depois disso, ela poderá a qualquer momento, pagar mais 3$ para repetir o pedido anterior, que permite a derrubada de 4 àrvores, ou ela pode abrir um outro pedido.

Answer 1

Meu raciocínio é o seguinte:

Supondo que T seja a quantidade de árvores que exista neste país e que esta seja conhecida pela empresa.
Primeiramente, é possível provar que fazer uma única solicitação é mais vantajoso do que fazer duas ou mais solicitações, uma vez que o preço médio cai se aumentarmos a quantidade de árvores derrubadas por solicitação:
Preço Médio = PM = ( 4 + 2*X ) / X = 4/X + 2 => PM é menor se X for grande.

Logo, percebemos que a forma mais vantajosa é a empresa realizar um pedido e, se necessário, repetir quantas vezes quiser (estou supondo que ela possa repetir quantas vezes quiser...). Vamos a algumas hipóteses:

1 Pedido:
Valor Pago = 4 + 2*T (já defini T como sendo o nr. de árvores derrubadas)
1 Pedido e 1 repetição:
Valor Pago = 4 + 2*T/2 + 3
(faço um pedido para cortar a metade das árvores T/2 e uma repetição custando 3, cortando assim a totalidade das árvores)
1 Pedido e 2 repetições:
Valor Pago = 4 + 2*T/3 + 3 + 3
(continuo o raciocínio, cortando um terço das árvores e repetindo duas vezes, completando a totalidade das árvores)
1 Pedido e 3 repetições:
Valor Pago = 4 + 2*T/4 + 3 + 3 + 3
...
1 Pedido e N repetições:
Valor Pago = 4 + 2*T/(N+1) + 3*N

Para pagarmos o menor possível precisamos minimizar a função acima. Tenho que apelar para as derivadas (mas dá pra resolver graficamente usando somente conhecimentos de colegial):

Valor Pago = VP = 4 + 2*T/(N+1) + 3*N
d(VP) / dN = 2*T*(-1)/( (N+1)^2 ) + 3 = 0
-2*T / ( (N+1)^2 ) = -3
(N+1)^2 = 2/3*T
N = RAIZ ( 2/3*T ) -1

Para gastarmos o máximo possível, basta ver quantas árvores iremos derrubar (T) e aplicar a fórmula acima para sabermos quantas vezes repetiremos o pedido (claro que devemos arredondar para baixo o N!)

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

Vamos a um exemplo prático da fórmula acima:
Vamos derrubar 54 árvores:
N = RAIZ( 2/3*T) -1 = RAIZ (2/3*54) -1 = RAIZ (36) - 1 = 5
Logo, repetiremos 5 vezes o primeiro pedido.
O primeiro pedido deverá cortar 1/6 das árvores pois as 5 repetições cortarão 5/6 das árvores. Assim:
X1 = 54/6 = 9; VP1 = 4 + 2*9 = 22
As 5 repetições custarão 3*5 = 15
VP = 22 + 15 = 37

Se fizéssemos um único pedido, gastaríamos:
VP = 4 + 2*54 = 4 + 108 = 112, mais de 3 vezes o preço acima!

Answer 2

Essa realmente é complicada. A resposta que eu havia dado anteriormente está incorreta, por isso apaguei.

O valor total a ser pago é:
(2X + n + 3n²)/n
sendo n o número de solicitações a serem feitas e X/n a quantidade de árvores em cada solicitação.

Deve-se calcular o valor mínimo dessa expressão, mas para isso eu tenho que tirar a poeira das minhas velhas apostilas de matemática.

Answer 3

O negócio é o seguinte: como a empresa nunca fez nenhuma solicitação então ela faz a primeira solicitação para derrubar somente 1 árvore. E assim paga o valor mínimo 6 (4+2). E agora vem a mágica da coisa. Qual a maior quantidade de árvores que ela pode derrubar? Todas as que existem e que venham a existir!!!!Vamos supor que esse número seja infinito. Então a empresa paga 3 para repetir a solicitação anterior só que para derrubar um infinito de árvores!Enfim, ela gastará 9 para ter direito sobre todas as árvores do tal local que existam e que venham a exitir.

Answer 4

bambambam é aquele menininho do fred??? é pra ele cortar as arvores?kkkkkkkkkkkkkkkkkkk