Energia Potenziale?

Question

Come si calcola l'energia potenziale (in ux) in un moto unidemensionale data questa forza:

F(x)= -kx - ax^3 ????

..è da premettere che siamo in fisica uno.. quindi formule con gradienti non possono essermi utili.

Answer 1

L'energia potenziale è per definizione quella grandezza fisica la cui derivata è uguale a meno la forza (che dipende in questo caso solo dalla posizione); in altri termini:
U'(x)=-F(x)
Quindi, effettuando un semplice calcolo di integrazione ottieni:
U(x)= 1/2kx^2 + a/4x^4

(Comunque la forza è quella elastica, fatta eccezione per il termine non lineare ax^3)

Answer 2

Ma se hai fatto la domanda sai anche la risposta..utilizza la lagrangiana dove m*dv/dt = - dU/dx..quindi a te il passaggio finale.

Answer 3

Basta ricorrere alla definizione di energia potenziale che no sto a ripetere: ce l'hai sicuramente sul libro.
Devi fare il solito integrale F scalar ds, essendo ds lo spostamento, no? Qui e' molto semplice: lo spostameto lo puoi pensare parallelo alla forza ed e' rappresntato dalla x. Dunque non resta che integrare e cambiare il segno.
U(x)=1/2 k x^2 + 1/4 a x^4+costante

Answer 4

L'energia potenziale di un corpo è una funzione scalare delle coordinate e rappresenta il livello di energia che il corpo possiede a causa della sua posizione all'interno di un particolare campo di forze conservative. Se il corpo si sposta da un punto A (definito da un vettore posizione \vec r_A) ad un punto B (definito da \vec r_B), le forze del campo compiono su di esso un lavoro definito da

L = U ( {\vec r_A}) - U (\vec r_B) (1).

Tale lavoro non dipende dal particolare percorso seguito per andare dal punto A al punto B, ma solo dalla posizione di A e B.
In ogni punto dello spazio, la forza \vec F(\vec r) è definita come l'opposto del gradiente dell'energia potenziale:

\vec F(\vec r) = - \operatorname grad \,[U(\vec r)] = \nabla \,[U(\vec r)] (2).

L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva. In altri termini è possibile fissare arbitrariamente lo zero dell'energia potenziale in corrispondenza di particolari valori di \vec r; questo non dà luogo ad alcuna ambiguità, poiché il lavoro è definito in termini di variazioni di U e la forza come gradiente; e in entrambi i casi queste operazioni non dipendono dalla scelta del livello di zero.

Elenchiamo qui di seguito alcune forze conservative, che ammettono una funzione energia potenziale:

1. la forza di gravità ammette un'energia potenziale gravitazionale.
* Un corpo di massa m, in prossimità della superficie terrestre, posto ad un'altezza h rispetto ad una quota di riferimento scelta arbitrariamente, ha un'energia potenziale U(h) = mgh (3)
essendo g = 9,81 m/sec² l'accelerazione di gravità.
* Se la distanza di un corpo di massa m dalla superficie terrestre (o di qualunque altro corpo celeste) è tale da non poter trascurare le variazioni della forza gravitazionale con la distanza, allora l'energia potenziale ad una distanza r dal centro del corpo celeste è definita da U(r) = -G \, \frac {Mm}{r} (4)
ove G = 6.672 × 10-11 N (m/kg)² è la costante di gravitazione universale e M la massa della terra o del corpo celeste. Nell'equazione (4) il livello di zero di U è posto a distanza infinita dal corpo celeste; di conseguenza i valori di U sono sempre negativi.
2. la forza di Coulomb ammette un'energia potenziale elettrica; una carica q posta a distanza r dalla carica Q generatrice del campo, possiede un'energia potenziale U(r) = \frac {1}{4 {\pi} {\epsilon_0}} \frac {Qq}{r}, essendo εo= 8.854 C²/N kg² la costante dielettrica del vuoto; nello studio dei fenonemi elettrici è tuttavia di uso più frequente il potenziale elettrico, definito come energia potenziale per unità di carica elettrica: V=\frac{U}{q}
3. la forza elastica ammette un'energia potenziale elastica se segue la legge di Hooke F = − kx (essendo k la costante elastica della molla e x l'allungamento o accorciamento). In tale caso l'energia potenziale è U(x) = \frac {1}{2}\, {k} {x}^2

Answer 5

l'energia potenziale è l'integrale di linea, dato un cammino che per evidenti motivi è unidimensionale nella x, di questo vettore anch'esso unimidensionale. Detto ciò in pratica ci si riduce a fare un integrale da zero (dove la forza è zero) a un punto finito (dato la forza a infinito diverge) qualsiasi. Dunque detto x'questo punto qualsiasi, l'energia potenziale sarà un semplice integrale polinomiale della F(x) da 0 a un punto x', con il segno cambiato:

U(x') = kx'^2/2 + ax'^4/4