工程數學利用拉氏解 多項式係數的線性微分方程式問題

Question

ty"+(4t-2)y'-4y=0 ; y(0)=1 利用拉氏解這題請給詳解。
其中計算過程中 的對 ty"進行拉氏變換 = - 2sY-s^2Y'+1 我不懂為何多了 - s^2Y' 這項?
還有比ty'進行拉氏變換=-Y- sY' 為何也多了 - sY' 這項?
最後利用拉氏變換變成一階線性微分方程式並解出
Y(s)=s/(s+4)^2 +6/(s+4)^2 + c/s^2(s+4)^2再取反拉氏變換得到

y(t)=e^-4t+2te^-4t+ (c/32)(-1+2t+e^-4t+2te^-4t)

而c/s^2(s+4)^2 怎取反拉氏得到(c/32)(-1+2t+e^-4t+2te^-4t)的?
本來我用部分分式展開後再取反拉氏卻怪怪的。
還有在一階線性微分方程式求積分因子時 ，對 (4s+8)/s(s+4)的積分好難積喔 我不知怎積???

所以這題我只有4個地方不懂怎算的 麻煩請告訴我3q

還沒回答我{ ty'' }= - ( d／ds )[ s^2Y - sy(0) - y'(0) ]

　　　= - [ 2sY s^2Y' - y(0) ]
- ( d／ds )[ s^2Y - sy(0) - y'(0) ]微分應該= - [2sY-y(0)]吧?怎多出了s^2Y' ?
- ( d／ds )[ sY - y(0) ]

　　 = - [ Y sY' ]
而- ( d／ds )[ sY - y(0) ]微分應該是= -[Y]吧?怎多出了 sY' ?

還有請問是這種2階線性方程式一律可利用初值定理，即令c=0 都可用嗎? 因為課本說這題並不滿足存在/唯一定理的假設，所以它有算c的部份其拉氏反轉換， 而存在/唯一定理的假設我根本不懂怎看

Answer 1

　　基本的 Laplace 轉換性質：
*
1. 時域微分性質：{ ƒ'(t) }= sF(s) - ƒ(0)
　　　　　　　　{ ƒ''(t) }= s2F(s) - sƒ(0) - ƒ'(0)
2. 頻域微分性質：{ tnƒ(t) }= ( - 1 )n[ dnF(s)／dsn ]
*
　　所以：
{ ty'' }= - ( d／ds )[ s2Y - sy(0) - y'(0) ]
　　　= - [ 2sY + s2Y' - y(0) ]
　　　= - 2sY - s2Y' + y(0)
{ ty' }= - ( d／ds )[ sY - y(0) ]
　　 = - [ Y + sY' ]
　　 = - Y - sY'
*
Problem：Solve ty'' + ( 4t - 2 ) y' - 4y = 0 , y(0) = 1
sol：
　　{ ty'' + 4ty' - 2y' - 4y }= 0
　　→ - ( d／ds )[ s2Y - s - y'(0) ] - 4( d／ds )( sY - 1 ) - 2( sY - 1 ) - 4Y = 0
　　→ ( 2sY + s2Y' - 1 ) + 4( Y + sY' ) + 2( sY - 1 ) + 4Y = 0
　　→ s( s + 4 )Y' + 4( s + 2 )Y = 3
　　→ Y' + [ 4( s + 2 )／s( s + 4 ) ]Y = [ 3／s( s + 4 ) ]
　　上式為一階線性 o.d.e.，再化簡一下。
　　4( s + 2 )／s( s + 4 ) = ( 2／s ) + 2／( s + 4 )
　　→ Y' + [ ( 2／s ) + 2／( s + 4 ) ]Y = [ 3／s( s + 4 ) ]
　　積分因子：I(s) = e∫[ ( 2／s ) + 2／( s + 4 ) ]ds
　　　　　　　　 = e ln│s^2 ( s + 4 )^2│
　　　　　　　　 = s2( s + 4 )2
　　Y = [ 1／s2( s + 4 )2 ]{∫s2( s + 4 )2 [ 3／s( s + 4 ) ]ds + c }
　　　= [ 1／s2( s + 4 )2 ][∫3s( s + 4 )ds + c ]
　　　= [ s2( s + 6 ) + c ]／s2( s + 4 )2
　　由初值定理：lim t → 0 y = lim s → ∞ sY
　　→ lim s → ∞ s{ [ s2( s + 6 ) + c ]／s2( s + 4 )2 }= 1
　　故：c = 0
　　→ Y = [ s2( s + 6 ) ]／s2( s + 4 )2
　　　　 = 1／( s + 4 ) + 2／( s + 4 )2
　　→ y = e - 4t + 2te - 4t , t ≥ 0 #


2006-12-11 19:46:04 補充：
天吶！版主！我不是寫的很明白了嗎？怎麼沒看懂呢？

乘法微分公式：( d／dx )( uv ) = u'v + uv'

上面的 u 跟 v 都是 x 的函數！

所以，在算 ( d／ds )( sY ) 時，注意！Y 也是 s 的函數，一樣用乘法微分公式！

( d／ds )( sY ) = Y + sY'

這樣瞭解了嗎？

2006-12-11 20:00:29 補充：
這題因為給 y(0) = 1，所以可以用初值定理。

若給 y(∞) = ... ，則可用終值定理。

不過我就不知道這個 ode 為何會不滿足存在／唯一定理了，抱歉喔！

Answer 2

我只是很驚呀因為微分d/ds 這表示對s作微分 所以當Y是常數 沒想過它是變數