工程數學想問方程組之拉氏解

Question

我上的是O'NEIL寫的書，這裡介紹利用拉氏變換來解方程組的解法，以前專科的工程數學就沒介紹 方程組利用拉氏的解法，並且應該只有高等工程才有另外介紹，所以我不會算!@@
1. x"-2x'+3y'+2y=4
2y'-x'+3y=0
x(0)=x'(0)=y(0)=0
這題 是有2組方程式 和已告知你初值條件是什麼 ?要你求反拉氏變換求x(t)和y(t) ，這題是我課本的例題但計算過程有地方不懂所以我po一下解題過程：

ans: 將拉氏變換應用到微分方程式 將初值條件代入得到：
(s^2)X-2sx+3sY+2Y=4/s
2sY-sX+3Y=0
解X(s)與Y(s)得
X(s)= (4s+6)/(s^2)(s+2)(s-1) , Y(s)=2/s(s+2)(s-1)
再利用部分分式分解 X(s)及Y(s) ，再取反拉氏變換得到x(t)及y(t)的解。
我所要問的是：如何從2組將初值條件代入的方程式求出
X(s)= (4s+6)/(s^2)(s+2)(s-1) , Y(s)=2/s(s+2)(s-1) ，能仔細回答者將選您最佳答案

Answer 1

Problem：x'' - 2x' + 3y' + 2y = 4
　　　　 2y' - x' + 3y = 0
　　　　 x(0) = x'(0) = y(0) = 0
sol：
　　對此 system of o.d.e. 取 Laplace 轉換。
　　→ s2X - 2sX + 3sY + 2Y = ( 4／s )
　　　 2sY - sX + 3Y = 0
　　整理得：( s2 - 2s )X + ( 3s + 2 )Y = ( 4／s )
　　　　　　- sX + ( 2s + 3 )Y = 0
　　再整理成矩陣：┌ ( s2 - 2s )　( 3s + 2 ) ┐┌ X ┐=┌ 4／s ┐
　　　　　　　　　└ 　- s　　 ( 2s + 3 ) ┘└ Y ┘ └　0　┘
　　利用 Cramer 法則解 X、Y
　　│( s2 - 2s )　( 3s + 2 )│= 2s( s2 + s - 2 )
　　│　- s　　 ( 2s + 3 )│

　　│( 4／s )　( 3s + 2 )│= 4( 2s + 3 )／s
　　│　0　　 ( 2s + 3 )│
　　→ X = [ 4( 2s + 3 )／s ]／[ 2s( s2 + s - 2 ) ]
　　　　 = ( 4s + 6 )／s2( s2 + s - 2 )

　　　　 = ( 4s + 6 )／s2( s - 1 )( s + 2 )

　　│( s2 - 2s )　( 4／s )│= 4
　　│　 - s　　　　0　│
　　→ Y = 4／2s( s2 + s - 2 )
　　　　 = 2／s( s - 1 )( s + 2 )
　　→ X(s) = ( 4s + 6 )／s2( s - 1 )( s + 2 ) #
　　　 Y(s) = 2／s( s - 1 )( s + 2 ) #
*
　　希望以上回答能幫助您。