Como determinar a equacao da reta com dois pontos?

Question

tendo dois pontos A=(x,y,z) e B=(a,b,c) como determinar a reta que passa por esses pontos?

Answer 1

Para eu achar a equacao da reta no plano, eu faço o seguinte, talvez tenha uma forma um pouco menor.
A forma da equação da reta é y = Ax + B, sendo A≠0 o coeficiente angular e B o coeficiente linear.

A = (y-b) / (x-a)
=>
y = Ax+B
y = (y-b)*x/(x-a) + B
Substituo y=b, x=a e acho B:
b = (y-b)*a/(x-a) + B
B = b - (y-b)*a/(x-a)

Remonto a formula colocando os valores de A e B.
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Para determinar a equaçao da reta no espaço.

A equação da reta será montada na forma parametrizada em t (parametrizar é escolher uma incognita que seja independente e esteja presente em todas as equaçoes, neste caso, tres).

x(t) = x1 + t(x2 - x1)
y(t) = y1 + t(y2 - y1)
z(t) = z1 + t(z2 - z1), ... t Є IR

No caso dos pontos A e B:

x(t) = x + t(a-x)
y(t) = y + t(b-y)
z(t) = z + t(c-z), ... t Є IR

Exemplo:
Determine a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (-2, -1, 3) e P2 = (3, 2, 7)

Equaçao da reta:
x(t) = -2 + t(3-(-2)
y(t) = -1 + t(2-(-1))
z(t) = 3 + t(7-3)

=>
x(t) = -2 + 5t
y(t) = -1 + 3t
z(t) = 3 + 4t, ... t Є IR

Para achar a equaçao na forma simetrica, nao parametrizada, basta eliminar a incognita t. Primeiro, precisamos determinar o vetor direção da reta:
v = (v1, v2, v3)
v = AB = (a, b, c) - (x, y, z) = (a-x, b-y, c-z)
(v1, v2, v3) = (a-x, b-y, c-z)

Usamos a formula abaixo para determinar a equaçao da reta:

(x-x1)/v1 = (y-y1)/v2 = (z-z1)/v3, sendo vi≠0 (1≤i≤3).

Usando o exemplo dado acima:
v = (5, 3, 4)

=>
Equaçao simetrica da reta:
(x-(-2))/5 = (y-(-1))/3 = (z-3)/4

=>
(x+2)/5 = (y+1)/3 = (z-3)/4

₢

Answer 2

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