Prove que n^3 + 3n^2 + 5n +3 é sempre divisível por 3.?

Question

Sendo o n um numero inteiro. 10 pontos pra quem resolver.

Answer 1

Caro amigo :

Vamos considerar m3 como sendo qualquer número múltiplo de 3 , ok?

a) se n =m3, temos

(m3)³ + 3.(m3)² + 5.(m3) + 3 ;mas :

(m3)³ é m3

3. (m3)² é m3

5.m3 é m3

3 é m3

logo n³ + 3n² + 5n + 3 é m3 , quando n é m3

b) se n não for m3 :

n³ + 3n² + 5n = n. ( n² + 3n + 5 ), mas :

n² = m3 + 1

3n é m3

5 = m3 + 2

Logo :

n . ( n² + 3n + 5 ) =

n . ( m3 + 1 + m3 + m3 + 2 ) =

n . ( 3m3 + 3 )=

n . m3 = m3

Então :

n³ + 3n² + 5n + 3 = m3 + 3 = m3

Um abraço !!!