Todos os números irracionais são transcendentes?

Question

Responda a sua opinião defendendo com argumentos.

Answer 1

Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais.

Existem dois tipos de números irracionais:

Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raizes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo . A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não se expressam através de radicais.

Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi () e o número de Euler ().
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.


[editar] Raiz quadrada de dois é irracional
Prova:

Vamos provar por redução ao absurdo. Suponha que é racional.

Então podemos colocá-lo na forma p / q, onde mdc(p,q) = 1, da seguinte forma:

p / q = .

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

( p / q )2 = 2. Então, p2 = 2q2. Como p2 é par, então p também é par.

Logo podemos chamar p = 2k. Substituindo na última igualdade, ficamos com:

( 2k )2 = 2q2. Ou seja, 4k2 = 2q2 e então em 2k² = q², mostrando que q também é um par.

Mas isso é absurdo, pois evidenciamos que mdc(p,q)=1. Concluímos que é irracional.


[editar] História
Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos os números irracionais que a geometria sugerira há mais de vinte séculos.

Answer 2

Basta tomar um contra exemplo.
Tome raiz de 2.
Este é irracional. pois não existe um par (p,q) de inteiros tal que p/q = raiz de 2. A demonstração está ali em cima.
No entanto, x²-2=0 tem como uma das soluções raiz de dois. logo existe uma equação algébrica que tem como solução raiz de 2.
Então, o número não é trancedental.

Answer 3

Não. Basta dar um contra-exemplo.
Contra-exemplo: √2 é irracional mas não é transcendente.

Prova que √2 não é transcendente:
Trivial: √2 é raiz do polinômio x² - 2 = 0

Prova que √2 é irracional (por redução ao absurdo):
a) Suponhamos que √2 for racional
b) Logo, existem p e q inteiros positivos e primos entre si tais que p / q = √2
b) De p / q = √2 seque que p² / q² = 2
c) Se p e q são primos entre si, então p² e q² também são primos entre si
d) Então p² / q² é fração irredutível e, em particular, p² / q² ≠ 2
e) Logo, √2 não é racional, ou seja, √2 é irracional.

c.q.d.

Nota: a prova acima pode ser facilmente extendida para provar que se ⁿ√c não for um inteiro, então ⁿ√c é um irracional.