高斯函數裡有高斯函數的極限計算

Question

這該如何求解?
(1)lim[x-[x]]=?(n屬於整數)
　x→n
(2)lim[[x]-x]=?(n屬於整數)
　x→n
(1)lim[x-[x-1]]=?(n屬於整數)
　x→n

以下是某資料提供的高斯函數定義,定義是否能求出解?
n≦x≦n+1 ,n屬於整數,則 f(x)=[x]=n
(1)[x]≦x≦[x]+1
(2)x-1<[x]≦x
(3)[x+n]=[x]+n, (n屬於自然數)

感激!如不能解也請不吝指正,或尚有其他解法嗎?
兄臺提供的答案跟習題答案不同@@懷疑答案印錯

Answer 1

(1)lim(x→n) [ x-[x] ]
1.以n-來看 :
lim(x→n-) [ x-[x] ]
= lim(x→n) [ n- (n-1) ]
= lim(x→n) [ n - n + 1 ]
= 1
2.以n+來看 :
lim(x→n+) [ x-[x] ]
= lim(x→n) [ n - n ]
= 0
∵左極限不等於右極限
∴極限不存在 #

(2)lim(x→n) [ [x]-x ]
1.以n-來看 :
lim(x→n-) [ [x]-x ]
= lim(x→n-) [ (n-1) - n ]
= lim(x→n-) [ n - 1 - n ]
= - 1

以n+來看 :
lim(x→n+) [ [x]-x ]
= lim(x→n+) [ n - n]
= 0
∵左極限不等於右極限
∴極限不存在 #

(3)lim(x→n)[x-[x-1]]
以n-來看 :
lim(x→n-)[x-[x-1]]　
= lim(x→n-)[ n- (n-1-1)]
= lim(x→n-)[ n - n + 2]
= 2
以n+來看 :
lim(x→n+)[x-[x-1]]
= lim(x→n+)[ n - (n-1)]
= lim(x→n+)[ n - n + 1]
=1

∵左極限不等於右極限
∴極限不存在 #

上面應該看的懂吧
高斯函數就是小於自己的最大整數
例如 : n→3 , 3- = 2.99... , [2.9] = 2 ,
3+ = 3.00... , [3.1] = 3

Answer 2

(1)lim[x-[x]]=?　(n∈N)　x→n∀ x ∈ Rx-1 < [x] ≤ x⇒ 1-x > -[x] ≥ -x⇒ 1 > x-[x] ≥ 0⇒ [x-[x]] = 0∴ [x-[x]] 為常函數 0故 lim[x-[x]]= 0　x→n(2)lim[[x]-x]=?　(n∈N)　x→n右極限 lim[[x]-x]x→n+=lim[n-x]　(n < x < n+1 as x→n+ )x→n+= -1　(-1 < n-x < 0 as x→n+ )左極限 lim[[x]-x]x→n-=lim[n-1-x]　(n-1 < x < n as x→n- )x→n-=lim[-1+(n-x)]x→n-= -1　(-1 < -1+(n-x) < 0 as x→n-)左極限 = 右極限 = -1故 lim[[x]-x] = -1　x→n(3)lim[x-[x-1]]　(n∈N)　x→n ∀ x ∈ Rx-2 < [x-1] ≤ x-1⇒ 2-x > -[x-1] ≥ 1-x⇒ 2 > x-[x-1] ≥ 1⇒ [x-[x-1]] = 1∴ [x-[x-1]] 為常函數 1故 lim[x-[x-1]] = 1　x→n

2006-12-15 16:59:04 補充：
To Freedom, 這3題的1,3題因為是常函數的關係,極限明顯存在,而第2題比起1,3題有稍微難一點,因為它在整數點的地方不連續,但是在這些整數點的地方因為左極限等於右極限,所以極限還是存在.極限存不存在和連不連續不能弄混了,3題的極限都是存在的,並不是不存在,投票是一回事,有弄懂還是比較好啊.