工程數學 拉氏轉換解初值問題

Question

y"+9y=t^2 ; y(0)=y'(0)=0 求初值 ，以快速拆根法詳解 3q

以下是重根的性質：
　　若有一函數為：ƒ(x) = g(x)／[ m(x)( x ± a )2 ]

　則可直接拆成：ƒ(x) = [ k1／( x ± a ) ] + [ k2／( x ± a )2 ]

　　k2 = ( 1／0! )[ g(x)／m(x) ] x = ( x ± a )

　k1 = ( 1／1! )( d／dx )[ g(x)／m(x) ] x = ( x ± a )

Answer 1

Problem：y'' + 9y = t2 , y(0) = y'(0) = 0sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y'' + 9y }= £{ t2 }　　→ s2Y + 9Y = ( 2／s3 ) → ( s2 + 9 )Y = ( 2／s3 )　　→ Y = 2／[ s3( s2 + 9 ) ]　　分母有三重根〝 0 , 0 , 0 〞與共軛複根〝 ± 3 i 〞，可直接拆項如下：　　Y = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + ( k3／s3 ) + ( U／3 )[ 3／( s2 + 9 ) ] + ( V／3 )[ s／( s2 + 9 ) ]　　再算各項係數，我們先算重根部份的係數，再算共軛複根部份的係數。　　重根部份係數：　　k3 = ( 1／0! )[ 2／( s2 + 9 ) ] s = 0　　　 = ( 2／9 )　　k2 = ( 1／1! )( d／ds )[ 2／( s2 + 9 ) ] s = 0　　　 = [ - 4s／( s2 + 9 ) ] s = 0　　　 = 0　　k1 = ( 1／2! )( d2／ds2 )[ 2／( s2 + 9 ) ] s = 0　　　 = ( 1／2 )( d／ds )[ - 4s／( s2 + 9 ) ] s = 0　　　 = ( 1／2 )[ - 36／( s2 + 9 )3 ] s = 0　　　 = [ - 18／( s2 + 9 )3 ] s = 0　　　 = - ( 2／81 )　　共軛複根部份係數：　　U + i V = [ 2／s3 ] s = 3 i　　　　　 = ( 2 i／27 )　　→ ( U／3 ) = 0 , ( V／3 ) = ( 2／81 )　　→ Y = ( 2／9 )( 1／s3 ) - ( 2／81 )( 1／s ) + ( 2／81 )[ s／( s2 + 9 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 2／9 )( t2／2 ) - ( 2／81 ) + ( 2／81 ) cos 3t , t ≥ 0　　　　= ( 2／9 )[ ( t2／2 ) + ( 1／9 ) cos 3t - ( 1／9 ) ] , t ≥ 0　　→ y = ( 2／9 )[ ( t2／2 ) + ( 1／9 ) cos 3t - ( 1／9 ) ] , t ≥ 0 #*　　這個答案絕對正確，我用時域積分性質算過答案也一樣；這是三重根的令法，我之前舉的例是二重根的，希望您能看出規則，依此類推到四重根或五重根；希望以上回答能幫助您。

2006-11-29 20:35:36 補充：
　　大哥不要嚇我啊！( 1／2 )[ - 36／729 ] 約分不就等於 - ( 2／81 ) 嗎？

　　還有您的二階沒算完，只算一半，除法微分如下：

( d／dx )( u／v )= ( u'v - uv' )／v^2

　　您的二階微分只算 u'v，沒減去 uv'，瞭解嗎？

Answer 2

但是- 4s／( s^2 + 9 )作第2次除法微分應該=
(4s^2 - 36)／( s2 + 9 )^2 , 分母部分不是加平方嗎 你怎算成3次方的?