y^x=x^y sendo x diferente de y?

Question

Resolva o sistema:
y^x=x^y sendo x diferente de y.

Não aceito chutes que deram certo. Quero ver os cálculos.

Se considerar que o conjunto de pares (x,y) que satisfazem a equação sejam infinitos, demonstre quais valores "y" irá assumir para determinados "x".

Answer 1

y^x=x^y sendo x diferente de y
Para x = 2 e y =4
y^x = y^x ==>
y² = x^4 ==>
4² = 2^4 = 16
<<>

Answer 2

y^x=x^y
log y^x = log x^y
x*log y = y*log x
x / log x = y / log y
ln x / x= ln y / y

Roubando a ideia do Clei Junior... Vou integrar dos dois lados:
∫(ln x / x)dx=∫(ln y / y)dy
u=ln x
du=dx/x
=>
∫u du=∫v dv
u²/2 = v²/2 + K
(ln x)² = (ln y)² + K
(ln y)² = (ln x)² + K
ln y = [(ln x)² + K]^½
y=exp{[(ln x)² + K]^½}
y=½*exp[(ln x)² + K]
y=½*k*exp(ln x)²
y=k*exp(ln x)
y=k*x

S={(x, kx)}, conclui-se que x e y sao dois numeros quaisquer sem relacao entre si.

₢

Answer 3

seria isso??
y^x=x^y
log(x)(y^x) = y (onde log(x)(y/x) é o logaritmo na base x de (y/x))
x*log(x)y=y
x*logy/logx=y
(percebemos aqui que tanto x quanto y não podem ser zero)
x*logy=y*logx
logy/y=logx/x
integrando ambas as partes (num lembro mais como integra direito :( ), resulta-se em:
1/y+K=1/x
(onde K é uma constante de integração, diferente de zero, senão y será igual a x)
e x em fç de y será:
x=1/(1/y+K), com x, y e K diferentes de zero.

Espero que tenha acertado :)

Answer 4

Que sistema? Trata-se de uma única equação, com duas variáveis, e tem infinitas soluções no domínio da função...

Answer 5

y^x=x^y ... x*log(y)=y*log(x) ... x/y=log(x)/log(y) ... x/y=x-y

logo, esta equação possui infinitas soluções, que respeitam a seguinte relação:

x=y(x-y)