部份分式問題 想請教

Question

1. 1+6x^2 / x(x^2+1)
2. 2/ x^2(x^2+9)
3. x/ (x^2+1)(x+4)
以上3題如何化成部份分式，因為我不會用因式分解化開，我只會十字交乘法，還有部份分式我不熟要怎令? 有詳解 將選你最佳答案

Answer 1

　　我的部份分式展開是從「訊號與系統」與「電路學」學到的，直接拆項算係數！國中、高中數學所學到的是展開後去比係數，不太一樣，有時候比來比去連我自己都眼花了，所以我都直接拆項再算係數，比較不會出錯。我把規則列出如下。case 1：相異實根　　若有一函數為：ƒ(x) = g(x)／[ ( x ± a )( x ± b )( x ± c )... ]　　則可直接拆成：ƒ(x) = [ k1／( x ± a ) ] + [ k2／( x ± b ) ] + [ k3／( x ± c ) ] +...　　k1 = [ g(x)／( x ± b )( x ± c )... ] x = ± a　　k2 = [ g(x)／( x ± a )( x ± c )... ] x = ± b　　k3 = [ g(x)／( x ± a )( x ± b )... ] x = ± c　　依此類推。*case 2：重根　　若有一函數為：ƒ(x) = g(x)／[ m(x)( x ± a )2 ]　　則可直接拆成：ƒ(x) = [ k1／( x ± a ) ] + [ k2／( x ± a )2 ]　　k2 = ( 1／0! )[ g(x)／m(x) ] x = ( x ± a )　　k1 = ( 1／1! )( d／dx )[ g(x)／m(x) ] x = ( x ± a )*case 3：共軛複根　　若有一函數為：ƒ(x) = g(x)／[ m(x)( x2 + a2 ) ]　　則可直接拆成：ƒ(x) = ( U／a ) [ a／( x2 + a2 ) ] + ( V／a ) [ x／( x2 + a2 ) ]　　U + i V = [ g(x)／m(x) ] x = a i　　或函數是：ƒ(x) = g(x)／m(x){ [ ( x + a )2 ] + b2 }　　直接拆成：ƒ(x) = ( U／b ) b／{ [ ( x + a )2 ] + b2 }+ ( V／b ) ( x + a )／{ [ ( x + a )2 ] + b2 }　　U + i V = [ g(x)／m(x) ] x = - a + b i*　　以上規則要記！多演算幾題就會了！*Ex 1. ƒ(x) = ( 1 + 6x2 )／[ x( x2 + 1 ) ]sol：　　分母有一個實根〝0〞與共軛複根〝± i〞。　　ƒ(x) = ( k1／x ) + U [ 1／( x2 + 1 ) ] + V [ x／( x2 + 1 ) ]　　k1 = [ ( 1 + 6x2 )／( x2 + 1 ) ] x = 0 = 1　　U + i V = [ ( 1 + 6x2 )／x ] x = i = 5 i　　→ U = 0 , V = 5　　→ ƒ(x) = ( 1／x ) + [ 5x／( x2 + 1 ) ] #*Ex 2. ƒ(x) = 2／[ x2( x2 + 9 ) ]sol：　　分母有重根〝0 , 0〞與共軛複根〝± 3 i〞　　ƒ(x) = ( k1／x ) + ( k2／x2 ) + ( U／3 )[ 1／( x2 + 1 ) ] + ( V／3 )[ x／( x2 + 9 ) ]　　k2 = ( 1／0! )[ 2／( x2 + 9 ) ] x = 0 = ( 2／9 )　　k1 = ( 1／1! )( d／dx )[ 2／( x2 + 9 ) ] x = 0 = 0　　U + i V = [ 2／x2 ] x = 3 i = - ( 2／9 )　　→ ( U／3 ) = - ( 2／27 ) , ( V／3 ) = 0　　→ ƒ(x) = ( 2／9 )( 1／x2 ) - ( 2／27 )[ 1／( x2 + 1 ) ] #*Ex 3. ƒ(x) = x／[ ( x2 + 1 )( x + 4 ) ]sol：　　分母有一個實根〝- 4〞與共軛複根〝± i〞。　　ƒ(x) = k1／( x + 4 ) + U [ 1／( x2 + 1 ) ] + V [ x／( x2 + 1 ) ]　　k1 = [ x／( x2 + 1 ) ] x = - 4 = - ( 4／17 )　　U + i V = [ x／( x + 4 ) ] x = i = ( 1 + 4 i )／17　　→ U = ( 1／17 ) , V = ( 4／17 )　　→ ƒ(x) = ( 1／17 )[ - 4／( x + 4 ) + 1／( x2 + 1 ) + 4x／( x2 + 1 ) ] #*　　規則該是講的很清楚了，等一下幫您算其他 Laplace 轉換時就直接用，不再多做說明囉！希望以上回答對您有幫助。

2006-11-27 19:01:31 補充：
　　這個就叫〝部份分式展開〞，也叫〝Heaviside 展開〞，中文通常翻譯成〝赫維賽展開〞。分母怎麼看的出是什麼根？

　　( x - 2 )^2 = ( x - 2 )( x - 2 ) = 0，那 x 不就是 2 跟 2，這樣叫重根。

　　( x - 2 )( x + 2 ) = 0，x 就是 2 跟 - 2，這樣叫相異實根。

　　( x^ + 9 ) = 0，那 x 不就是 ± 3 i ，這樣叫共軛複根，中文也有翻譯成共軛虛根。

2006-11-27 19:07:03 補充：
　　m(x) 是什麼？m(x) 是任意的 x 函數，只是代號，跟 g(x) 一樣，就是分子、分母都有任異的 x 函數，但是我只討論單純的三種根的型態要怎麼去拆，所以我就不管 m(x) 跟 g(x) 是什麼，那不是我要解說的東西。

　　0! = 1
　　1! = 1
　　2! = 2
　　3! = 6
　　4! = 12
　　5! = 60

　　就是階層！您已經在學工程數學，不能連這都不知道吧！可能知識+ 只能打橫書，數學式您看不太清楚而已。

2006-11-27 19:10:40 補充：
　　這些〝部份分式展開〞的公式，我不知道哪些有介紹，但在電路學或訊號與系統的課本應該都有，去翻翻書吧！如果對公式不了解，坦白說，我也不了解！我只知道拿來用，我並不在乎這些公式怎麼變出來的！

2006-11-27 19:14:14 補充：
　　看的出來您是會想很多東西的人，但是學工程數學，有時候想太多......會自己卡住自己，工程數學是學習解決問題的方法，也可以說是用數學去描述工程問題再用數學解決問題的方法，要以這個目標來學習，免的把自己卡死了！切記！切記！