A reta s de equação x-5y+16=0 intercepta a circunferência da equação x²+y²-4x-2y-8=0 nos pontos M e N.?

Question

Encontre o valor da área do triangulo cujos vértices são os pontos M e N e o centro da circunferência.

Answer 1

Reta:
x-5y+16=0
x=5y-16

Circunferencia:
x²+y²-4x-2y-8=0
(x-2)²+(y-1)-13=0
(x-2)²+(y-1)²=13

Substituindo uma na outra:
(5y-16-2)²+(y-1)²=13
(5y-18)²+(y-1)²=13
25y²-180y+324+y²-2y+1=13
26y²-182y+312=0
y²-7y+12=0

y=[7+-(7²-4*1*12)^1/2] / 2
y=[7+-(49-48)^1/2] / 2
y=[7+-1] / 2

y'=3 ..... ou ...... y''=4
=>
x-5(3)+16=0
x=-1
e
x-5(4)+16=0
x=4

Entao:
M=(-1, 3) e N=(4, 4)

₢

Answer 2

A solução está disponível no seguinte endereço web,

http://adsorcao.locaweb.com.br/circulo/grafico.pdf .

A planilha Excel para resolver o problema está em

http://adsorcao.locaweb.com.br/circulo/grafico.xls .

Os pontos encontrados foram (-1,3) e (4,4). A área do triângulo formado por esses dois pontos mais o centro da circunferência (2,1) é 6,5.

Answer 3

Nossa Senhora... Que problema dahora...

x²+y²-4x-2y-8=0
transformando na fórmula mínima para facilitar a resolução:

(x²-4x+4)+(y²-2y+1)=8+4+1
(x-2)²+(y-1)²=13

é uma circunferência de centro O(2,1) e raio sqrt(13).

Para resolver, isolemos x na equação da reta e substituamos na equação da circunferência:

x-5y+16=0
x=5y-16

(x-2)²+(y-1)²=13
(5y-16-2)²+(y-1)²=13
(5y-18)²+y²-2y+1=13
25y²-180y+324+y²-2y+1=13
26y²-182y+312=0
26(y²-7y+12)=0
y²-7y+12=0

S=7
P=12
y1=3
y2=4

agora que já achamos os valor de y em que a reta seca a circunferencia, achemos os valores de x.

(x-2)²+(y-1)²=13
(x-2)²+(3-1)²=13
(x-2)²+4=13
(x-2)²=9
x-2=+-3

x1=-1
x2=5
Dentre (5,3) e (-1,3) apenas o segundo está contido na reta {x-5y+16=0}.

(x-2)²+(y-1)²=13
(x-2)²+(4-1)²=13
(x-2)²+9=13
(x-2)²=4
x-2=+-2

x1=0
x2=4

Dentre (0,4) e (4,4) apenas o segundo está contido na reta {x-5y+16=0}

Portanto agora nos resta descobrir a área do triangulo delimitada pelos pontos O(2,1), M(-1,3) e N(4,4)

Podemos descobrir por determinante:
A=
|2 1 1|
|-1 3 1| x 1/2
|4 4 1|
=
6+4-4-12-8+1=10-24+1=-14+1=-13

(usa-se o módulo de -13)

Aréa = 13/2.