數學 根與係數

Question

1. x^2+6x+4=0 兩根為a b

求b/a^2+a/b^2= _
2. x^2-3x-1=0 兩根為a b
(a^5+b^5)-3(a^4+b^4)=_

3. 求 |(1+2i)^2(2+3i)|=_

4. x y屬於R 且 x+y+4i=-8+xyi

求 y/x+x/y =_

Answer 1

(1) ab=4、a+b=-6b/a2 + a/b2 = (b3+a3)/a2b2 = [(a+b)3-3a2b-3ab2] / a2b2= [(a+b)3-3ab(a+b)] / (ab)2= [(-6)3-3(4)(-6)] / (4)2= (-144) / 16= -9答案：<<-9>>(2) ab=1、a+b=3(a5+b5)-3(a4+b4)=[(a+b)5-5a4b-10a3b2-10a2b3-5ab4]-3[(a+b)4-4a3b-6a2b2-4ab3]=[(a+b)5-5ab(a3+b3)-10a2b2(a+b)]-3[(a+b)4-4ab(a2+b2)-6a2b2]=[(3)5-5x1x(18)-10x12x3]-3[(3)4-4x1x(7)-6x12]=123-3x47=123-141=-18答案：<<-18>>PS：(a3+b3)=(a+b)3-3ab(a+b)=33-3x1x3=18(a2+b2)=(a+b)2-2ab=32-2x1=7(3) x+y=8、xy=4y/x + x/y = y2+x2 /xy = [(x+y)2-2xy] / xy= [(8)2-2x4] / 4= 58 / 4= 14.5答案：<<14.5>> 

Answer 2

1．本題是可直代公式得二根，再繼續作答，但有無理數不易作答，
若以二根積為方程式尾項係為，二根之和為第二項係數乘一負號值（ab=4；a+b= -6）之觀念作答較為簡化．

b/a^2 + a/b^2 = [(a+b)^3-3ab(a+b)] / (ab)^2= [(-6)^3-3(4)(-6)] / (4)^2= (-144) / 16= -9

２．同上之理 ab=-1；a+b=3
(a^5+b^5)-3(a^4+b^4)

=[(a+b)5-5a4b-10a3b2-10a2b3-5ab4]-3[(a+b)4-4a3b-6a2b2-4ab3]

=[(a+b)^5-5ab(a^3+b^3)-10(ab)^2(a+b)]-3[(a+b)^4-4ab(a^2+b^2)-6(ab)^2]

=[(3)^5-5(-1)(36)-10(-1)^2(3)]-3[(3)^4-4(-1)(11)-6(-1)^2]=96

３．化整題目後得abs.[(-3+2i)(2+3i)]=abs.(-12-5i)
而絶對值在複數平面代表是一個長度，
abs.(-12-5i)＝[(-12)^2+(-5)^2]^0.5=13

4．因為x，Y皆為實數，可利用比較係數法
可得x+y=-8；xy=4
y/x + x/y = y^2+x^2 /xy=56/4=14