工程數學用拉氏變換解初值問題

Question

8. y"+9y=t^2 ; y(0)=y'(0)=0
9. y"+16y=1+t ; y(0)=-2 , y'(0)=1
10. y"-5y'+6y=e^-t ; y(0)=0 , y'(0)=2
求詳細 ，同時我對部份分式不熟 只會算最簡單的部份分式要如何令。
將選您最佳答案

Answer 1

8. y'' + 9y = t2 , y(0) = 0 , y'(0) = 0sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：s2Y + 9Y = ( 2／s2 )　　→ ( s2 + 9 )Y = ( 2／s2 )　　→ Y = 2／[ s2( s2 + 9 ) ]　　分母有重根〝0 , 0〞與共軛複根〝 ± i 〞。　　Y = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + ( U／3 )[ 3／( s2 + 9 ) ] + ( V／3 )[ s／( s2 + 9 ) ]　　k2 = ( 1／0! )[ 2／( s2 + 9 ) ] s = 0 　　　 = ( 2／9 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ 2／( s2 + 9 ) ] s = 0　　　 = [ - 4s／( s2 + 9 ) ] s = 0 　　　 = 0　　U + i V = [ 2／s2 ] s = 3 i 　　　　　 = - ( 2／9 )　　→ ( U／3 ) = - ( 2／27 ) , ( V／3 ) = 0　　→ Y = ( 2／9 )( 1／s2 ) - ( 2／27 )[ 3／( s2 + 9 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 2t／9 ) - ( 2／27 ) sin 3t , t ≥ 0 #*9. y'' + 16y = 1 + t , y(0) = - 2 , y'(0) = 1sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：s2Y + 2s - 1 + 16Y = ( 1／s ) + ( 1／s2 )　　→ ( s2 + 16 )Y = [ ( s + 1 )／s2 ] - 2s + 1　　→ Y = ( - 2s2 + 2s + 1 )／[ s2( s2 + 16 ) ]　　分母有重根〝0 , 0〞與共軛複根〝 ± 4 i 〞。　　Y = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + ( U／4 )[ 4／( s2 + 16 ) ] + ( V／4 )[ s／( s2 + 16 ) ]　　k2 = ( 1／0! )[ ( - 2s2 + 2s + 1 )／( s2 + 16 ) ] s = 0 　　　 = ( 1／16 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ ( - 2s2 + 2s + 1 )／( s2 + 16 ) ] s = 0　　　 = [ ( - 2s2 - 66s + 32 )／( s2 + 16 )2 ] s = 0 　　　 = ( 1／8 )　　U + i V = [ ( - 2s2 + 2s + 1 )／s2 ] s = 4 i 　　　　　 = - ( 33 + 8 i )／16　　→ ( U／4 ) = - ( 33／64 ) , ( V／4 ) = - ( 1／8 )　　→ Y = ( 1／64 )[ ( 4／s ) + ( 8／s2 ) - 33‧4／( s2 + 16 ) - 8s／( s2 + 16 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／64 )( 4 + 8t - 33 sin 4t - 8 cos 4t ) , t ≥ 0 #*10. y'' - 5y' + 6y = e - t , y(0) = 0 , y'(0) = 2sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：s2Y - 2 - 5sY + 6Y = 1／( s + 1 )　　→ ( s2 - 5s + 6 )Y = [ 1／( s + 1 ) ] + 2　　→ ( s - 2 )( s - 3 )Y = ( 2s + 3 )／( s + 1 )　　→ Y = ( 2s + 3 )／[ ( s + 1 )( s - 2 )( s - 3 ) ]　　分母有相異實根〝 - 1 , 2 , 3 〞　　Y = k1／( s + 1 ) + k2／( s - 2 ) + k3／( s - 3 )　　k1 = [ ( 2s + 3 )／( s - 2 )( s - 3 ) ] s = - 1 　　　 = ( 1／12 )　　k2 = [ ( 2s + 3 )／( s + 1 )( s - 3 ) ] s = 2 　　　 = - ( 7／3 )　　k3 = [ ( 2s + 3 )／( s + 1 )( s - 2 ) ] s = 3 　　　 = ( 9／4 )　　→ Y = ( 1／12 )[ 1／( s + 1 ) ] - ( 7／3 )[ 1／( s - 2 ) ] + ( 9／4 )[ 1／( s - 3 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／12 )e - t - ( 7／3 )e2t + ( 9／4 )e3t , t ≥ 0 #*　　希望以上回答能幫助您。

2006-11-28 21:27:35 補充：
　　Damn it ! 這下子錯大了！

Y = 2／s^3‧( s^2 + 9 )

　　分母有三重根，重根部分拆成這樣↓

Y = ( k1／s ) + ( k2／s^2 ) + ( k3／s^3 )

k3 = ( 1／0! )[ 2／( s^2 + 9 ) ] ( s = 0 )

k2 = ( 1／1! )( d／ds )[ 2／( s^2 + 9 ) ] ( s = 0 )

k1 = ( 1／2! )( d^2／ds^2 )[ 2／( s^2 + 9 ) ] ( s = 0 )

　　有看出規則嗎？要是係數算不出來再跟我說吧。

Answer 2

這題我會解3q