工程數學拉氏轉換解初值問題第3、5題

Question

2. y' - 9y = t , y(0) = 5
3. y'+4y=cos(t) ; y(0)=0
5. y'-2y=1-t ; y(0)=4

第2題是過程中的部份分式我不知怎令，因為分母有2次方項，我只知一次方項怎令，順便問這題。 求詳解 並選您為最佳答案 ，第3、5題應該也能用部份分式讓函數方便直接利用拉氏公式反轉換吧?

Answer 1

2. y' - 9y = t , y(0) = 5sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y' - 9y }= £{ t }　　→ sY - 5 - 9Y = ( 1／s2 )　　→ ( s - 9 )Y = ( 5s2 + 1 )／s2　　→ Y = ( 5s2 + 1 )／s2( s - 9 )　　分母有重根〝 0 , 0 〞與異實根〝 9 〞。　　Y = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + k3／( s - 9 )　　k3 = [ ( 5s2 + 1 )／s2 ] s = 9　　　 = ( 406／81 )　　k2 = ( 1／0! )[ ( 5s2 + 1 )／( s - 9 ) ] s = 0　　　 = - ( 1／9 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ ( 5s2 + 1 )／( s - 9 ) ] s = 0　　　 = [ ( 5s2 - 90s + 1 )／( s - 9 )2 ] s = 0　　　 = - ( 1／81 )　　→ Y = - ( 1／81 )( 1／s ) - ( 1／9 )( 1／s2 ) + ( 406／81 )[ 1／( s - 9 ) ]　　　　 = ( 1／81 )[ 406／( s - 9 ) - ( 9／s2 ) - ( 1／s ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／81 )( 406e9t - 9t - 1 ) , t ≥ 0 #*3. y' + 4y = cos t , y(0) = 0sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y' + 4y }= £{ cos t }　　→ sY + 4Y = s／( s2 + 1 )　　→ ( s + 4 )Y = s／( s2 + 1 )　　→ Y = [ s／( s + 4 )( s2 + 1 ) ]　　分母有一實根〝 - 4 〞與共軛複根〝 ± i 〞。　　Y = [ k1／( s + 4 ) ] + U [ 1／( s2 + 1 ) ] + V [ s／( s2 + 1 ) ]　　k1 = [ s／( s2 + 1 ) ] s = - 4　　　 = - ( 4／17 )　　U + i V = [ s／( s + 4 ) ] s = i　　   　　  = i／( 4 + i )　　　　　 = ( 1 + 4 i )／17　　→ U = ( 1／17 ) , V = ( 4／17 )　　→ Y = ( 1／17 )[ 1／( s2 + 1 ) ] + ( 4／17 )[ s／( s2 + 1 ) ] - ( 4／17 )[ 1／( s + 4 ) ]　　→ y = ( 1／17 )( sin t + 4 cos t ) - ( 4e - 4t／17  ) , t ≥ 0 #*5. y' - 2y = 1 - t , y(0) = 4 註sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y' - 2y }= £{ 1 - t }　　→ sY - 4 - 2Y = ( 1／s ) - ( 1／s2 )　　→ ( s - 2 )Y = ( 1／s ) - ( 1／s2 ) + 4　　→ Y = ( 4s2 + s - 1 )／s2( s - 2 )　　分母有重根〝 0 , 0 〞與實根〝 2 〞。　　Y = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + k3／( s - 2 )　　k3 = [ ( 4s2 + s - 1 )／s2 ] s = 2　　　 = ( 17／4 )　　k2 = ( 1／0! )[ ( 4s2 + s - 1 )／( s - 2 ) ] s = 0　　　 = ( 1／2 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ ( 4s2 + s - 1 )／( s - 2 ) ] s = 0　　　 = ( 3／2 )　　→ y = ( 1／4 )( 17e2t + 2t + 6 ) , t ≥ 0 #註：這題我第一次幫您算時，係數有算錯，抱歉我太粗心了，原諒我 Orz...*　　這些題目都可以用部份分式展開來算，只是有時候利用性質來求解會比較快而已；希望以上回答能幫助您。