工程數學用拉氏變換解初值問題 好多題不會

Question

我算了一遍發覺我不會的應該都是同類型的題目。但課本的例題我可會算喔，只是到了反拉氏轉換卻不會算。
1. y'+4y=1 ; y(0)=-3
2. y'-9y=t ; y(0)=5
3. y'+4y=cos(t) ; y(0)=0
5. y'-2y=1-t ; y(0)=4

我須要詳解 ，因為書本上的解答 有的F(s) 我與它算的不太一樣 覺得它在作反拉氏變換前的F(s)怪怪的

Answer 1

Laplace 轉換之時域微分性質：£{ y' }= sY - y(0)*Laplace 轉換之時域積分性質：£{∫0t ydτ }= ( Y／s )　　　　　　　　　　　　　 £{∫0t∫0τ ydαdτ }= ( Y／s2 )*Laplace 轉換之時域旋積性質：£{ ƒ(t) * g(t) }= FG　　　　　　　　　　　　　 ƒ(t) * g(t) =∫0t ƒ(τ)g( t - τ )dτ*　　以上是我解算題目需用到的性質，現在開始解題囉。*1. y' + 4y = 1 , y(0) = - 3sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y' + 4y }= £{ 1 }　　→ sY + 3 + 4Y = ( 1／s )　　→ ( s + 4 )Y = ( 1 - 3s )／s　　→ Y = ( 1 - 3s )／s( s + 4 )　　　　 = ( k1／s ) + k2／( s + 4 )　　k1 = [ ( 1 - 3s )／( s + 4 ) ] s = 0　　　 = ( 1／4 )　　k2 = [ ( 1 - 3s )／s ] s =  - 4　　　 = - ( 13／4 )　　→ Y = ( 1／4 )[ ( 1／s ) - 13／( s + 4 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／4 )( 1 - 13e - 4t ) , t ≥ 0 #*2. y' - 9y = t , y(0) = 5sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y' - 9y }= £{ t }　　→ sY - 5 - 9Y = ( 1／s2 )　　→ ( s - 9 )Y = ( 5s2 + 1 )／s2　　→ Y = ( 5s2 + 1 )／s2( s - 9 )　　　　 = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + k3／( s - 9 )　　k3 = [ ( 5s2 + 1 )／s2 ] s = 9　　　 = ( 406／81 )　　k2 = ( 1／0! )[ ( 5s2 + 1 )／( s - 9 ) ] s = 0　　　 = - ( 1／9 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ ( 5s2 + 1 )／( s - 9 ) ] s = 0　　　 = [ ( 5s2 - 90s + 1 )／( s - 9 )2 ] s = 0　　　 = - ( 1／81 )　　→ Y = - ( 1／81 )( 1／s ) - ( 1／9 )( 1／s2 ) + ( 406／81 )[ 1／( s - 9 ) ]　　　　 = ( 1／81 )[ 406／( s - 9 ) - ( 9／s2 ) - ( 1／s ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／81 )( 406e9t - 9t - 1 ) , t ≥ 0 #*3. y' + 4y = cos t , y(0) = 0sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y' + 4y }= £{ cos t }　　→ sY + 4Y = s／( s2 + 1 )　　→ ( s + 4 )Y = s／( s2 + 1 )　　→ Y = [ s／( s2 + 1 ) ][ 1／( s + 4 ) ]　　y = £ - 1{ Y }= ( cos t ) * e - 4t　　   =∫0t ( cos τ )e - 4 ( t - τ ) dτ　　   = e - 4t∫0t e4τ cos τ dτ　　   = e - 4t [ e4τ／( 42 + 12 ) ][ 4 cos τ + sin τ ] τ 代 t 減 τ 代 0　　   = ( 1／17 )( 4 cos t + sin t ) - ( 4e - 4t／17  ) cos t , t ≥ 0　　→ y = ( 1／17 )( 4 cos t + sin t ) - ( 4e - 4t／17  ) cos t , t ≥ 0 #*5. y' - 2y = 1 - t , y(0) = 4sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換：£{ y' - 2y }= £{ 1 - t }　　→ sY - 4 - 2Y = ( 1／s ) - ( 1／s2 )　　→ ( s - 2 )Y = ( 1／s ) - ( 1／s2 ) + 4　　→ Y = [ 1／s( s - 2 ) ] - [ 1／s2( s - 2 ) ] + [ 4／( s - 2 ) ]　　y = £ - 1{ Y }=∫0t e2τ dτ -∫0t∫0τ e2α dα dτ + 4e2t　　   = ( 1／2 )e2τ│τ 代 t 減 τ 代 0 -∫0t ( 1／2 )e2α│α 代 τ 減 α 代 0 + 4e2t　　   = ( 1／2 )( e2t - 1 ) - ( 1／2 )∫0t ( e2τ - 1 ) dτ + 4e2t　　   = ( 1／2 )( e2t - 1 ) + 4e2t - ( 1／2 )[ ( 1／2 )e2τ - τ ] τ 代 t 減 τ 代 0　　   = ( 1／2 )( e2t - 1 ) + 4e2t - ( 1／4 )e2t - ( t／2 ) + ( 1／4 )　　   = ( 17／4 )e2t - ( t／2 ) - ( 1／4 )　　   = ( 1／4 )( 17e2t - 2t - 1 ) , t ≥ 0　　→ y = ( 1／4 )( 17e2t - 2t - 1 ) , t ≥ 0 #*　　希望以上回答能幫助您。