工程數學用拉氏變換解初值問題 求詳解

Question

6. y"+y=1 ; y(0)=6 , y'(0)=0
7. y"-4y'+4y=cos(t) ; y(0)=1 , y'(0)=-1
8. y"+9y=t^2 ; y(0)=y'(0)=0
9. y"+16y=1+t ; y(0)=-2 , y'(0)=1
10. y"-5y'+6y=e^-t ; y(0)=0 , y'(0)=2
求初值問題 要詳解
過程中我每次算完拉氏轉換後的函數後，因為無法用看的就馬上得知反拉氏轉換是多少? 然後我曾想用部分分式讓 函數看起來較簡單 讓我能直接由拉氏轉換的公式 就反轉換。 但我發覺不知為何我部分分式算不出來阿 ?
全部要詳解， 將選您為最佳答案3q

Answer 1

6.sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：s2Y - 6 + Y = ( 1／s )　　→ Y = ( 6s + 1 )／s( s2 + 1 )　　　　 = ( k1／s ) + U [ 1／( s2 + 1 ) ] + V [ s／( s2 + 1 ) ]　　k1 = [ ( 6s + 1 )／( s2 + 1 ) ] s = 0 = 1　　U + i V = [ ( 6s + 1 )／( s2 + 1 ) ] s = i = 6 - i　　→ U = 6 , V = - 1　　→ Y = ( 1／s ) + [ 6／( s2 + 1 ) ] - [ s／( s2 + 1 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = 1 + 6 sin t - cos t , t ≥ 0 #*7.sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：[ s2Y - s + 1 ] - 4 [ sY - 1 ] + 4Y = s／( s2 + 1 )　　→ Y = ( s3 - 5s2 + 2s - 5 )／[ ( s - 2 )2( s2 + 1 ) ]　　　　 = k1／( s - 2 ) + k2／( s - 2 )2 + U [ 1／( s2 + 1 ) ] + V [ s／( s2 + 1 ) ]　　k2 = ( 1／0! )[ ( s3 - 5s2 + 2s - 5 )／( s2 + 1 ) ] s = 2 = - ( 11／5 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ ( s3 - 5s2 + 2s - 5 )／( s2 + 1 ) ] s = 2　　　 = [ ( s4 + s2 + 2 )／( s2 + 1 )2 ] s = 2 = ( 22／25 )　　U + i V = [ ( s3 - 5s2 + 2s - 5 )／( s - 2 )2 ] s = i = ( - 4 + 3 i )／25　　→ U = - ( 4／25 ) , V = ( 3／25 )　　→ Y = ( 1／25 )[ 22／( s - 2 ) - 55／( s - 2 )2 - 4／( s2 + 1 ) + 3s／( s2 + 1 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／25 )( 22e2t - 55te2t - 4 sin t + 3 cos t ) , t ≥ 0 #*8.sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：s2Y + 9Y = ( 2／s2 )　　→ Y = 2／[ s2( s2 + 9 ) ]　　　　 = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + ( U／3 )[ 3／( s2 + 9 ) ] + ( V／3 )[ s／( s2 + 9 ) ]　　k2 = ( 1／0! )[ 2／( s2 + 9 ) ] s = 0 = ( 2／9 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ 2／( s2 + 9 ) ] s = 0　　　 = [ - 4s／( s2 + 9 ) ] s = 0 = 0　　U + i V = [ 2／s2 ] s = 3 i = - ( 2／9 )　　→ ( U／3 ) = - ( 2／27 ) , ( V／3 ) = 0　　→ Y = ( 2／9 )( 1／s2 ) - ( 2／27 )[ 3／( s2 + 9 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 2t／9 ) - ( 2／27 ) sin 3t , t ≥ 0 #*9.sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：s2Y + 2s - 1 + 16Y = ( 1／s ) + ( 1／s2 )　　→ Y = ( - 2s2 + 2s + 1 )／[ s2( s2 + 16 ) ]　　　　 = ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + ( U／4 )[ 4／( s2 + 16 ) ] + ( V／4 )[ s／( s2 + 16 ) ]　　k2 = ( 1／0! )[ ( - 2s2 + 2s + 1 )／( s2 + 16 ) ] s = 0 = ( 1／16 )　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ ( - 2s2 + 2s + 1 )／( s2 + 16 ) ] s = 0　　　 = [ ( - 2s2 - 66s + 32 )／( s2 + 16 )2 ] s = 0 = ( 1／8 )　　U + i V = [ ( - 2s2 + 2s + 1 )／s2 ] s = 4 i = - ( 33 + 8 i )／16　　→ ( U／4 ) = - ( 33／64 ) , ( V／4 ) = - ( 1／8 )　　→ Y = ( 1／64 )[ ( 4／s ) + ( 8／s2 ) - 33‧4／( s2 + 16 ) - 8s／( s2 + 16 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／64 )( 4 + 8t - 33 sin 4t - 8 cos 4t ) , t ≥ 0 #*10.sol：　　等號兩邊同取 Laplace 轉換得：s2Y - 2 - 5sY + 6Y = 1／( s + 1 )　　→ Y = ( 2s + 3 )／[ ( s + 1 )( s - 2 )( s - 3 ) ]　　　　 = k1／( s + 1 ) + k2／( s - 2 ) + k3／( s - 3 )　　k1 = [ ( 2s + 3 )／( s - 2 )( s - 3 ) ] s = - 1 = ( 1／12 )　　k2 = [ ( 2s + 3 )／( s + 1 )( s - 3 ) ] s = 2 = - ( 7／3 )　　k3 = [ ( 2s + 3 )／( s + 1 )( s - 2 ) ] s = 3 = ( 9／4 )　　→ Y = ( 1／12 )[ 1／( s + 1 ) ] - ( 7／3 )[ 1／( s - 2 ) ] + ( 9／4 )[ 1／( s - 3 ) ]　　y = £ - 1{ Y }　　→ y = ( 1／12 )e - t - ( 7／3 )e2t + ( 9／4 )e3t , t ≥ 0 #*　　希望以上回答能幫助您。

2006-11-26 14:41:16 補充：
　　抱歉，超過兩千字，我把題目刪除保留題號才能 PO 文，若是需要詳解，建議一個版放兩個或三個題目就好，否則放太多題目，我也只好跳步驟或把題目敘述刪除才能勉強 PO 文喔！

Answer 2

我懂了是用十字交乘法作因式分解了

Answer 3

才五點.....算一題才一點