高階線性ODE

Question

高等工程數學k版9th的題目
6.(xD^3+4D^2)y=8e^x

Answer 1

6. ( xD3 + 4D2 ) y = 8exsol：　　令：u = D2y → Du = D3y　　原式寫成：xDu + 4u = 8ex　　→ Du + ( 4／x ) u = ( 8ex／x ) ～ 一階線性 o.d.e.　　積分因子：I(x) = e∫( 4／x )dx = e 4 ln│x│　　　　　　　　   = x4　　u = ( 1／x4 )(∫8x3exdx + k3 )　　   = ( 1／x4 )( 8x3ex - 24x2ex + 48xex - 48ex + k3 )　　   = ( 8ex／x ) - ( 24ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) - ( 48ex／x4 ) + ( k3／x4 )　　→ D2y = ( 8ex／x ) - ( 24ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) - ( 48ex／x4 ) + ( k3／x4 )　　上式為二階線性 o.d.e.　　特徵方程式 ( characteristic equation )：r2 = 0　　→ r = 0 , 0 ～ 重根 ( real double root )　　→ yh = c1 + c2x ～ 齊次解 ( homogenous solution )　　利用參數變異法 ( variation of parameters ) 求特解 yp。　　令：Q = ( 8ex／x ) - ( 24ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) - ( 48ex／x4 ) + ( k3／x4 )　　　　yp = φ1y1 + φ2y2 = u1 + u2x　　W =│1　x│= 1　　　   │0　1│　　φ1 =∫( - y2Q／W )dx　　　 =∫- x [ ( 8ex／x ) - ( 24ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) - ( 48ex／x4 ) + ( c3／x4 ) ]dx　　　 =∫[ - 8ex + ( 24ex／x ) - ( 48ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) - ( k3／x3 ) ]dx　　　 = - 8ex + ( k3／2x2 ) +∫[ ( 24ex／x ) - ( 48ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) ]dx　　後面那串積分，用分部積分慢慢搞吧！公式為∫udv = uv -∫vdu　　令：u = 48ex　　　　　則：du = 48exdx　　　　dv = ( 1／x3 )　　　　　v = - ( 1／2x2 )　　→∫( 48ex／x3 )dx = - ( 24ex／x2 ) +∫( 24ex／x2 )dx　　把上面結果套入∫[ ( 24ex／x ) - ( 48ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) ]dx 這串積分！　　得：φ1 = - 8ex + ( k3／2x2 ) - ( 24ex／x2 ) +∫[ ( 24ex／x ) - ( 24ex／x2 ) ]dx　　再用分部積分算一次吧！　　令：u = - 24ex　　　　則：du = - 24exdx　　　　dv = ( 1／x2 )　　　　　v = - ( 1／x )　　→∫- ( 24ex／x2 )dx = ( 24ex／x ) -∫( 24ex／x )dx　　把上面結果套入∫[ ( 24ex／x ) - ( 48ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) ]dx 這串積分！　　得：φ1 = - 8ex + ( k3／2x2 ) - ( 24ex／x2 ) + ( 24ex／x )　　φ2 =∫( y1Q／W )dx　　　 =∫[ ( 8ex／x ) - ( 24ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) - ( 48ex／x4 ) + ( k3／x4 ) ]dx　　　 = - ( k3／3x3 ) +∫[ ( 8ex／x ) - ( 24ex／x2 ) + ( 48ex／x3 ) - ( 48ex／x4 ) ]dx　　一樣用分部積分慢慢搞吧。　　令：u = - 48ex　　　　則：du = - 48exdx　　　　dv = ( 1／x4 )　　　　　v = - ( 1／3x3 )　　→∫- ( 48ex／x4 ) ]dx = ( 16ex／x3 ) -∫( 16ex／x3 )dx　　得：φ2 = - ( k3／3x3 ) + ( 16ex／x3 ) +∫[ ( 8ex／x ) - ( 24ex／x2 ) + ( 32ex／x3 ) ]dx　　令：u = 32ex　　　　　則：du = 32exdx　　　　dv = ( 1／x3 )　　　　　 v = - ( 1／2x2 )　　→∫( 32ex／x3 )dx = - ( 16ex／x2 ) +∫( 16ex／x2 )dx　　得：φ2 = - ( k3／3x3 ) + ( 16ex／x3 ) - ( 16ex／x2 ) +∫[ ( 8ex／x ) - ( 8ex／x2 ) ]dx　　令：u = - 8ex　　　　　則：du = - 8exdx　　　　dv = ( 1／x2 )　　　　　 v = - ( 1／x )　　→∫- ( 8ex／x2 )dx = ( 8ex／x ) -∫( 8ex／x )dx　　得：φ2 = - ( k3／3x3 ) + ( 16ex／x3 ) - ( 16ex／x2 ) + ( 8ex／x )　　yp = φ1y1 + φ2y2 = u1 + u2x　　　 = - 8ex + ( k3／2x2 ) - ( 24ex／x2 ) + ( 24ex／x ) - ( k3／3x2 ) + ( 16ex／x2 ) - ( 16ex／x ) + 8ex　　　 = ( k3／6x2 ) - ( 8ex／x2 ) + ( 8ex／x )　　令：( k3／6 ) = c3　　→ yp = ( c3／x2 ) - ( 8ex／x2 ) + ( 8ex／x ) ～ 特解 ( particular solution )　　通解 ( general solution )：y = yh + yp　　→ y = c1 + c2x + ( c3／x2 ) - ( 8ex／x2 ) + ( 8ex／x ) #*　　以上過程僅供參考，如果版主有答案，那麼請對一下答案，如果我算的跟答案一樣，麻煩再寄信跟我講一下，我算對的話一定會比版主還快樂 ^_^

2006-11-25 15:02:06 補充：
抱歉，有看到 u1、u2 的都改為 φ1、φ2，抱歉喔！

Answer 2

你答案在
http://www.wretch.cc/album/show.php?i=kuasemd&b=2&f=1542432197&p=1
才給5點
所以給答案
相當合理!