工程數學反拉氏轉換問題

Question

書本上對於1/s(s-4)的反拉氏轉換是用 1/(a-b)*(e^at-e^bt)經拉氏轉換後得到1/(s-a)(s-b)來進行反運算。
對於1/s^2(s^2+1)的反拉氏轉換是用 at-sin(at)經拉氏轉換後得到a^3/s^2(s^2+a^2)的公式 來進行反運算。
而我要問的是，我發現這樣我根本一堆要死背又難背的公式會記不完。
我的想法是：所有公式雖然都是用推導的出來，但推導只是幫助你記憶而已，實際考試時你仍必須記憶公式，否則考試來不及寫完。
但問題是推導的公式太多了，像這2題推導我會推但還是不好記憶 ，這樣我會痛苦的要死，所以請問只能用這2個公式來反運算嗎?
答的出來和詳細回答者 將為最佳答案喔。
我問的應該較靈活要求別種好解的方法 但是要用反拉氏變換喔

Answer 1

　　同樣的，求 Laplace 反轉換有很多種方法，一種是利用轉換性質來反推反轉換，另一種則是直接將頻域函數拆項，都拆成基本項，再個別取反轉換；基本函數的轉換與性質都是要記的，因為各個領域都有很廣泛的應用。*　　我以 F(s) = 1／s2( s2 + 1 ) 來當例題解說，用三種方法來算其反轉換。*Ex. F(s) = 1／s2( s2 + 1 ) , find the inverse Laplace transform ƒ(t) = ?sol：　　法一：直接拆項　　F(s) = 1／s2( s2 + 1 )　　　　= ( k1／s ) + ( k2／s2 ) + U [ 1／( s2 + 1 ) ] + V [ s／( s2 + 1 ) ]　　U + i V = [ 1／s2 ] s = i　　　　　 = - 1　　→ U = - 1 , V = 0　　k2 = ( 1／0! )[ 1／( s2 + 1 ) ] s = 0　　　 = 1　　k1 = ( 1／1! )( d／ds )[ 1／( s2 + 1 ) ] s = 0　　　 = [ - 2s／( s2 + 1 ) ] s = 0　　　 = 0　　→ F(s) = ( 1／s2 ) - [ 1／( s2 + 1 ) ]　　→ ƒ(t) = t - sin t , t ≥ 0 #*　　法二：利用時域積分性質　　£{∫0t ƒ(τ)dτ }= F(s)／s　　£{∫0t∫0τ ƒ(α) dα dτ }= F(s)／s2　　£ - 1{ 1／s2( s2 + 1 ) }=∫0t∫0τ sin α dα dτ }　　　　　　　　　　   =∫0t ( - cos α│α 代 τ 減 α 代 0 )dτ　　　　　　　　　　   =∫0t ( 1 - cos τ )dτ　　　　　　　　　　   = ( τ - sin τ )│τ 代 t 減 τ 代 0　　　　　　　　　　   = t - sin t  , t ≥ 0 #　　→ ƒ(t) = t - sin t , t ≥ 0 #*　　法三：利用時域旋積分 ( time convolution integral )　　£{ ƒ(t) * g(t) }= F(s)G(s)　　ƒ(t) * g(t) =∫0t ƒ(τ)g( t - τ )dτ　　F(s) = 1／s2( s2 + 1 ) = ( 1／s2 )[ 1／( s2 + 1 ) ]　　£ - 1{ 1／s2( s2 + 1 ) }= t * sin t　　　　　　　　　　   =∫0t τ sin( t - τ )dτ　　　　　　　　　　   = [ τ cos( t - τ ) + sin( t - τ ) ] τ 代 t 減 τ 代 0　　　　　　　　　　   = t - sin t , t ≥ 0　　→ ƒ(t) = t - sin t , t ≥ 0 #*　　如您所見，有很多方法，但使用這些方法必須是我們都很熟悉其性質，而且將基本函數的轉換嫻熟於胸才能靈活運用的，Laplace 的確是絕世奇才，他所發明的數學技巧可以簡化好多計算，一定要熟練它喔！*　　希望以上回答能幫助您。

2006-11-25 10:18:58 補充：
嗯，的確可以幫我們簡化很多計算，常練習的話自然就記起來了。

Answer 2

£ - 1{1/s(s-4)}= £ - 1{ (-1/4)/s + (1/4)/(s-4) }= £ - 1{(-1/4)/s} + £ - 1{(1/4)/(s-4)}
=-1/4+(1/4)e^4t