工程數學拉氏轉換有一題不會解

Question

1. f(t)=4t sin(2t) 求拉氏轉換後的函數F(s)為多少
這題原本我想用分部積分 但有3個變數讓我無法算 ，就是4t、sin(2t)、e^-st這3個。 如果只有2個變數想乘就能用分部，但這題是3個相乘。
而我書本上的拉氏轉換公式是將f(t)*e^-st dt 再作0到無限大的積分。
我把f(t)代入公式 發現有3個變數相乘 使得我認為無法用分部積分算。
而我自已本身已知 4t的拉氏轉換後為4/s^2 , sin(2t)的拉氏轉換為 2/(s^2+2^2)。
而這題是將2個轉換前的函數相乘 然後要你進行拉氏轉換。

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Answer 1

　　這種題目有很多做法，如果是積分高手的話可以跟他硬拼積分，另外一種做法就是靈活運用 Laplace 轉換的性質，可以避掉很多複雜的積分，我通常選擇後者，如果您學到 Laplace 轉換的話，最好要熟悉、運用其性質，才能幫助我們快速運算。*　　Laplace 轉換與 Fourier 轉換，其轉換性質是〝靈魂〞；性質很多，這題需用到的性質如下。Laplace 轉換之頻域微分性質：£{ tnƒ(t) }= ( - 1 )n( dn／dsn )F(s)　　知道這個性質就能來算本題，算完之後我會推導、證明這個性質。*Problem：Given ƒ(t) = 4t sin 2t , find the Laplace transform F(s) = ?sol：　　£{ ƒ(t) }= £{ 4t sin 2t }= 4 £{ t sin 2t }　　　　　 = ( - 4 )( d／ds )[ 2／( s2 + 4 ) ]　　　　　 = ( - 4 )[ - 4s／( s2 + 4 )2 ]　　　　　 = 16s／( s2 + 4 )2　　→ F(s) = 16s／( s2 + 4 )2 #** 證明 Laplace 轉換之頻域微分性質 *　　以下 F(s) 簡記為 F、積分區間均為 0 ～ ∞，現在開始證明。( dF／ds ) = ( d／ds )(∫ƒ(t)e - st dt )　　　　  =∫ƒ(t)( de - st／ds ) dt　　　　  =∫- tƒ(t)e - st dt　　　　  = -∫tƒ(t)e - st dt　　　　  = - £{ tƒ(t) }→ £{ tƒ(t) }= - ( dF／ds )　　推廣至 n 次微分表之如下：£{ tnƒ(t) }= ( - 1 )n( dnF／dsn )*　　希望以上回答能幫助您。

2006-11-25 10:24:16 補充：
　　我是用 Laplace 轉換的性質去解，課本一定有寫，可能您還沒看到比較後面的部份，或你們老師還沒教到而已。

　　當然也可以像版主這樣，套定義去算積分，這是最原本的方法，可以算出來就正確囉！不過還是建議熟練性質，因為對我們幫助真的很大。