Para f(x) = log x na base 10?

Question

a)Encontre o domínio de f.
b)Mostre que se a1, a2, a3,..., an são reais positivos tem que:
f (a1. a2. a3... an) = f (a1) + f (a2) + f (a3) ... f (an)

c) Mostre que f (10!) = 2. f (7) + 4. f (3) + 6. f (2)

Answer 1

Cara Júlia :

a ) Não esqueça que o domínio de uma função é o conjunto cujos elementos x podem definir essa função.
Logo , como log x na base 10 é definida para todos os valores de x ,tal que x é maior que zero, então ;

Dom f = { x pertence à R / x é maior que zero }

b )f (a1) = log a1
f (a2) = log a2
f (a3) = log a3
. .
. .
. .
f (an) = log an

Mas log a1 + log a2 + ...... + log an = log ( a1 . a2 . .an )= f(a1.a2.a3.....an), pela propriedade dos logarítmos .

Então f(a1) + f(a2) +.... + f(an) = f ( a1 . a2 .... . an )

c ) f ( 10 ! ) = f ( 1.2.3;4.5.6.7.8.9.10 )=
= f(1) + f(2) + ... + f(10) ,usando o ítem b)
Observe que :

f(1) = log 1 = 0
f(4) = f (2.2)= f(2)+f(2) = 2.f(2)
f(5) = f(10/2) = log 10 - log 2 = 1 - f(2)
f(6) = f(2.3) = f(2) + f(3)
f(8) = f( 2³) = f(2) + f(2) + f(2) = 3.f(2)
f(9) = f( 3²)= f(3) + f(3) = 2.f(3)
f(10) = log 10 = 1

Eu não trabalhei com f(2),f(3) e f(7) ,pois eles constam na resposta!!!

Então f(10 !)= 0+ f(2) + f(3) + 2.f(2) + [ 1 - f(2)] + [ f(2) + f(3)] + f(7) + 3.f(2) + 2f(3) +1=

=6f(2) + 4f(3) + f(7) + 2 = 2+f(7)+4f(3)+6f(2)
OBS :

Me parece que houve um erro de digitação
em vez de 2.f(7)...vale 2+ f(7) ,ok?

Um abraço !!!

Answer 2

Por definição log x na base 10, e a potencia que 10 elevado a mesma tem como resultado x
ou seja 10^(log x) = x
com não há número que 10 elevado a esta potencia de um valor negativo ou zero,
a) o domínio da funcao são reais positivos maiores que zero.
b) volvando a definição de log x
a1 = 10 ^ log a1
a2 = 10 ^ log a2 ....

Calculando cada parcela e multiplicando

a1 x a2 x a3 ....= 10 ^ log a1 x 10 ^ log a2 x ....

Da definição de potenciação

= 10 ^ (log a1 + log a2 + log a 3....)

De volta a definição de logaritimo multiplicando primeiro:

(a1 x a2 x a3 x...) = 10 ^ log (a1 x a2 x a3 x ...)

igualando as duas respostas:

log a1 + log a2 + log a3 +.... = log (a1 x a2 x a3 x...)

c) f (10!) = log (10!) = log (1 x 2 x 3 x ....x10) = log (3628800)

2 + log 7 + 4 x log 3 + 6 x log 2 = log 100 + log 7 + log 3^4 + log 2^6

= log ( 100 x 7 x 3^4 x 2^6) = log ( 100 x 7 x 81 x 64 ) = log (3628800)

O primeiro sinal logo apos o 2 e soma não multiplicação.

Answer 3

a)
reais positivos

O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida.

b)
f(x)=log x

f(10)=log 10=1
f(100)=log 100=2
f(1000)=log 1000=3
f(10000)=log 10000=4

=>
f(10)+f(100)+f(1000)+f(10000)=
1+2+3+4=10

=>
f(10*100*1000*10000)=
f(10.000.000.000) = log 10.000.000 = 10

=>
f(10*100*1000*10000)= f(10)+f(100)+f(1000)+f(10000)

generalizando:
f(a1. a2. a3... an) = f(a1) + f(a2) + f(a3) ... f(an)

c)
f(10!) = f(10*9*8*7*6*5*4*2*1) = f(3628800)

f(3628800)= log 3628800
f(3628800)= log 36288*100
f(3628800)= log 4536*8*(25*4)
f(3628800)= log 56*81*8*25*4
f(3628800)= log 7*8*81*8*25*4
f(3628800)= log 7+log 8*8*4+log 81+log 25
f(3628800)= log 7+log 2³*2³*2²+log 3^4+log 5²
f(3628800)= log 7 +8*log 2 +4*log 3 +2*log 5

f(3628800)= f(7) +8*f(2) +4*f(3) +2*f(5)

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