想請問高階線性ODE的算式過程

Question

13.(D^3+4D^2+85D)y=135xe^x,y(0)=10.4,Dy(0)=-18.1,D^2(0)=-691.6
14.(2D^3-D^2-8D+4I)y=sinx,y(0)=1,Dy(0)=0,D^2y(0)=0

Answer 1

13. ( D3 + 4D2 + 85D ) y = 135xex , y(0) = 10.4 , Dy(0) = - 18.1 , D2y(0) = - 691.6sol：　　特徵方程式：r3 + 4r2 + 85r = 0　　→ r ( r2 + 4r + 85 ) = 0　　→ r = 0 , - 2 ± 9 i ～ 一個實根與共軛複根　　→ yh = c1 + e - 2x ( c2 cos 9x + c3 sin 9x )　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = ( Ax + B )ex　　→ Dyp = Aex + ( Ax + B )ex　　　 D2yp = 2Aex + ( Ax + B )ex　　　 D3yp = 3Aex + ( Ax + B )ex　　( D3 + 4D2 + 85D ) yp = 135xex　　→ 96Aex + 90( Ax + B )ex = 135xex　　比較係數得：90A = 135 → A = 1.5　　　　　　　　96A + 90B = 0 → B = - 1.6　　→ yp = ( 1.5x - 1.6 )ex ～ 特解　　通解：y = c1 + e - 2x ( c2 cos 9x + c3 sin 9x ) + ( 1.5x - 1.6 )ex　　y(0) = 10.4 → x = 0 , y = 10.4　　→ c1 + c2 = 12　　Dy = - 2e - 2x ( c2 cos 9x + c3 sin 9x ) + 9e - 2x ( - c2 sin 9x + c3 cos 9x ) + 1.5ex + ( 1.5x - 1.6 )ex　　Dy(0) = - 18.1 → x = 0 , Dy = - 18.1　　→ - 2c2 + 9c3 = - 18　　D2y = 4e - 2x ( c2 cos 9x + c3 sin 9x ) - 36e - 2x ( - c2 sin 9x + c3 cos 9x )　　　　  + 81e - 2x ( - c2 cos 9x - c3 sin 9x ) + 3ex + ( 1.5x - 1.6 )ex　　D2y(0) = - 691.6 → x = 0 , D2y = - 691.6　　→ 77c2 + 36c3 = 693　　解得 c2、c3：c2 = 9、c3 = 0.01　　c1 + c2 = 12 → c1 = 3　　→ y = 3 + e - 2x ( 9 cos 9x + 0.01 sin 9x ) + ( 1.5x - 1.6 )ex #*14. ( 2D3 - D2 - 8D + 4I ) y = sin x , y(0) = 1 , Dy(0) = 0 , D2y(0) = 0sol：　　原式化為：( D3 - 0.5D2 - 4D + 2I ) y = 0.5 sin x　　特徵方程式：r3 - 0.5r2 - 4r + 2 = 0　　→ ( r - 0.5 )( r - 2 )( r + 2 ) = 0　　→ r = 0.5 , 2 , - 2 ～ 三相異實根　　→ yh = c1e0.5x + c2e2x + c3e - 2x ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = A cos x + B sin x　　→ Dyp = - A sin x + B cos x　　　 D2yp = - A cos x - B sin x　　　 D3yp = A sin x - B cos x　　( D3 - 0.5D2 - 4D + 2I ) yp = 0.5 sin x　　→ ( 2.5A - 5B ) cos x + ( 5A + 2.5B ) sin x = 0.5 sin x　　比較係數得：2.5A - 5B = 0　　→　A = 0.08　　　　　　　　5A + 2.5B = 0.5　　　 B = 0.04　　→ yp = 0.08 cos x + 0.04 sin x ～ 特解　　通解：y = c1e0.5x + c2e2x + c3e - 2x + 0.08 cos x + 0.04 sin x　　y(0) = 1 → x = 0 , y = 1　　→ c1 + c2 + c3 = 0.92　　Dy = 0.5c1e0.5x + 2c2e2x - 2c3e - 2x - 0.08 sin x + 0.04 cos x　　Dy(0) = 0 → x = 0 , Dy = 0　　→ 0.5c1 + 2c2 - 2c3 = - 0.04　　D2y = 0.25c1e0.5x + 4c2e2x + 4c3e - 2x - 0.08 cos x - 0.04 sin x　　D2y(0) = 0 → x = 0 , D2y = 0　　→ 0.25c1 + 4c2 + 4c3 = 0.08　　解 c1、c2、c3 得：c1 = 0.96、c2 = - 0.15、c3 = 0.11　　→ y = 0.96e0.5x - 0.15e2x + 0.11e - 2x + 0.08 cos x + 0.04 sin x #*　　希望以上回答能幫助您。

Answer 2

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