工程數學高階線性ODE

Question

10.y''''-16y=128cosh2x,y(0)=1,y'(0)=24,y''(0)=20,y'''(0)=-160
11.(x^3D^3-x^2D^2-7xD+16I)y=9xlnx,y(1)=6,Dy(1)=18,D^2y(1)=65
12.(D^4-26D^2+25I)y=50(x+1)^2,y(0)=12.16,Dy(0)=-6,D^2y(0)=34,D^3y(0)=-130

OK!初值條件就留給我自己代就好了︿︿

Answer 1

　　版主，跟您商量一下，如果這三題都要把初值條件代入把任意積分常數算出來的話，其內容絕對超過兩千字。

　　所以有兩個提議，一個是完整、全部算出來，但最多也只能 PO 兩題，另一個是不把初值條件代入，那麼我三題都能 PO，初值條件就留給版主自己代就好了。

　　不知版主意下如何？

2006-11-25 11:20:54 補充：
10. y'''' - 16y = 128 cosh 2xsol：　　128 cosh 2x = 128 [ ( e2x + e - 2x )／2 ] = 64e2x + 64e - 2x　　→ y'''' - 16y = 64e2x + 64e - 2x　　特徵方程式：r4 - 16 = 0　　→ ( r + 2 )( r - 2 )( r2 + 4 ) = 0　　→ r = - 2 , 2 , ± 2 i ～ 兩相異實根與共軛複根　　→ yh = c1e - 2x + c2e2x + c3 cos 2x + c4 sin 2x ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = Axe2x + Bxe - 2x　　→ yp' = Ae2x + 2Axe2x + Be - 2x - 2Bxe - 2x　　　 yp'' = 4Ae2x + 4Axe2x - 4Be - 2x + 4Bxe - 2x　　　 yp''' = 12Ae2x + 8Axe2x + 12Be - 2x - 8Bxe - 2x　　　 yp'''' = 32Ae2x + 16Axe2x - 32Be - 2x + 16Bxe - 2x　　yp'''' - 16yp = 64e2x + 64e - 2x　　→ 32Ae2x - 32Be - 2x = 64e2x + 64e - 2x　　比較係數得：32A = 64 → A = 2　　　　　　　　- 32B = 64 → B = - 2　　→ yp = 2xe2x - 2xe - 2x ～ 特解　　通解：y = c1e - 2x + c2e2x + c3 cos 2x + c4 sin 2x + 2xe2x - 2xe - 2x #*11. ( x3D3 - x2D2 - 7xD + 16I ) y = 9 x ln xsol：　　令 x = et → t = ln x　　→ Dy = ( dy／dx ) = ( dt／dx )( dy／dt )　　　　   = ( 1／x )( dy／dt )　　　 D2y = ( d2y／dx2 ) = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　　　= ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　　 D3y = ( d3y／dx3 ) = ( d／dx )[ ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt ) ]　　　　　= ( 1／x3 )( d3y／dt3 ) - ( 3／x3 )( d2y／dt2 ) + ( 2／x3 )( dy／dt )　　原 D.E. 化為：( d3y／dt3 ) - 4( d2y／dt2 ) - 4( dy／dt ) + 16y = 9tet　　上式為一簡單的高階 o.d.e.。　　特徵方程式：r3 - 4r2 - 4r + 16 = 0　　→ ( r + 2 )( r - 2 )( r - 4 ) = 0　　→ r = - 2 , 2 , 4 ～ 三相異實根　　→ yh = c1e - 2t + c2e2t + c3e4t　　　　  = c1x - 2 + c2x2 + c3x4 ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = ( At + B )et　　→ ( dyp／dt ) = Aet + ( At + B )et　　　 ( d2yp／dt2 ) = 2Aet + ( At + B )et　　　 ( d3yp／dt3 ) = 3Aet + ( At + B )et　　( d3yp／dt3 ) - 4( d2yp／dt2 ) - 4( dyp／dt ) + 16yp = 9tet　　→ - 9Aet + 9( At + B )et = 9tet　　比較係數得：9A = 9 → A = 1　　　　　　　　- 9A + 9B = 0 → B = 1　　→ yp = ( 1 + t )et　　　　  = ( 1 + ln x ) x ～ 特解　　通解：y = c1x - 2 + c2x2 + c3x4 + ( 1 + ln x ) x #*12. ( D4 - 26D2 + 25I ) y = 50( x + 1 )2sol：　　原式為：( D4 - 26D2 + 25I ) y = 50x2 + 100x + 50　　特徵方程式：r4 - 26r2 + 25 = 0　　→ ( r2 + 1 )( r2 + 25 ) = 0　　→ r = ± i , ± 5 i ～ 共軛複根　　→ yh = c1 cos x + c2 sin x + c3 cos 5x + c4 sin 5x ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = Ax2 + Bx + C　　→ Dyp = 2Ax + B　　　 D2yp = 2A　　　 D3yp = D4yp = 0　　( D4 - 26D2 + 25I ) yp = 50x2 + 100x + 50　　→ - 52A + 25Ax2 + 25Bx + 25C = 50x2 + 100x + 50　　比較係數得：25A = 50 → A = 2　　　　　　　　25B = 100 → B = 4　　　　　　　　- 52A + 25C = 50 → C = 6.16　　→ yp = 2x2 + 4x + 6.16 ～ 特解　　通解：y = c1 cos x + c2 sin x + c3 cos 5x + c4 sin 5x + 2x2 + 4x + 6.16 #*　　希望以上回答能幫助您。