高階線性ODE的數學基本問題

Question

7.(D^4+10D^2+9I)y=13cosh2x
8.(D^3-2D^2-9D+18I)y=e^2x
9.y'''-9y''+27y'-27y=54sin3x,y(0)=3.5,y'(0)=13.5,y''(0)=38.5

Answer 1

7. ( D4 + 10D2 + 9I ) y = 13 cosh 2xsol：　　13 cosh 2x = 13[ ( e2x + e - 2x )／2 ] = 6.5e2x + 6.5e - 2x　　→ y'''' + 10y'' + 9y = 6.5e2x + 6.5e - 2x　　特徵方程式：r4 + 10r2 + 9 = 0　　→ ( r2 + 1 )( r2 + 9 ) = 0　　→ r = ± i , ± 3 i ～ 共軛複根　　→ yh = c1 cos x + c2 sin x + c3 cos 3x + c4 sin 3x ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = Ae2x + Be - 2x　　→ yp' = 2Ae2x - 2Be - 2x　　　 yp'' = 4Ae2x + 4Be - 2x　　　 yp''' = 8Ae2x - 8Be - 2x　　　 yp'''' = 16Ae2x + 16Be - 2x　　yp'''' + 10yp'' + 9yp = 6.5e2x + 6.5e - 2x　　→ 65Ae2x + 65Be - 2x = 6.5e2x + 6.5e - 2x　　比較係數得：65A = 6.5 → A = 0.1　　　　　　　　65B = 6.5 → B = 0.1　　→ yp = 0.1e2x + 0.1e - 2x ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = c1 cos x + c2 sin x + c3 cos 3x + c4 sin 3x + 0.1e2x + 0.1e - 2x #*8. ( D3 - 2D2 - 9D + 18I ) y = e2xsol：　　特徵方程式：r3 - 2r2 - 9r + 18 = 0　　→ ( r - 2 )( r - 3 )( r + 3 ) = 0　　→ r = 2 , 3 , - 3 ～ 三相異實根　　→ yh = c1e2x + c2e3x + c3e - 3x ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = Axe2x　　→ Dyp = Ae2x + 2Axe2x　　　 D2yp = 4Ae2x + 4Axe2x　　　 D3yp = 12Ae2x + 8Axe2x　　( D3 - 2D2 - 9D + 18I ) yp = e2x　　→ - 5Ae2x = e2x　　比較係數得：A = - 0.2　　→ yp = - 0.2xe2x ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = c1e2x + c2e3x + c3e - 3x - 0.2xe2x #*9. y''' - 9y'' + 27y' - 27y = 54 sin 3xsol：　　特徵方程式：r3 - 9r2 + 27r - 27 = 0　　→ ( r - 3 )( r - 3 )( r - 3 ) = 0　　→ r = 3 , 3 , 3 ～ 三重根　　→ yh = ( c1 + c2x + c3x2 )e3x ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = A cos 3x + B sin 3x　　→ yp' = - 3A sin 3x + 3B cos 3x　　　 yp'' = - 9A cos 3x - 9B sin 3x　　　 yp''' = 27A sin 3x - 27B cos 3x　　yp''' - 9yp'' + 27yp' - 27yp = 54 sin 3x　　→ ( 54A - 54B ) cos 3x + ( - 54A + 54B ) sin 3x = 54 sin 3x　　比較係數得：54A + 54B = 0　　→　A = - 0.5　　　　　　　　- 54A + 54B = 54　　　B = 0.5　　→ yp = - 0.5 cos 3x + 0.5 sin 3x ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = ( c1 + c2x + c3x2 )e3x - 0.5 cos 3x + 0.5 sin 3x #*　　希望以上回答能幫助您。