高階線性ODE

Question

4.y'''+2y''-5y'-6y=100e^(-3x)+18e^(-x)
5.x^3y'''+0.75xy'-0.75y=9x^5.5
6.(xD^3+4D^2)y=8e^x

沒有打錯…我是照k版3.3章節（9th） 裡面內容打的。

龍哥這個的跟要怎麼算出來我忘了＝ ＝
r^3 - 2r^2 - 4r + 8 = 0 , r^3 + 3r^2 - 5r - 39 = 0
不要罵我笨 我真的忘了 很搞笑吼 教我最簡單的解法。
先謝謝你了………

Answer 1

第 6. 題的題目有無打錯？

2006-11-24 18:32:10 補充：
　　能不能請您自己看一下國中或高中數學課本裡面的因式分解，不是我不想教，而是在知識+解釋實在太困難了！

　　先自己看一下，然後根同學討論一下，真的很簡單喔！

2006-11-25 01:46:58 補充：
4. y''' + 2y'' - 5y' - 6y = 100e - 3x + 18e - xsol：　　特徵方程式：r3 + 2r2 - 5r - 6 = 0　　→ ( r + 1 )( r - 2 )( r + 3 ) = 0　　→ r = - 1 , 2 , - 3 ～ 三相異實根　　→ yh = c1e - x + c2e2x + c3e - 3x ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = Axe - 3x + Bxe - x　　→ yp' = Ae - 3x - 3Axe - 3x + Be - x - Bxe - x　　　 yp'' = - 6Ae - 3x + 9Axe - 3x - 2Be - x + Bxe - x　　　 yp''' = 27Ae - 3x - 27Axe - 3x + 3Be - x - Bxe - x　　yp''' + 2yp'' - 5yp' - 6yp = 100e - 3x + 18e - x　　→ 10Ae - 3x - 6Be - x = 100e - 3x + 18e - x　　比較係數得：10A = 100 → A = 10　　　　　　　　- 6B = 18 → B = - 3　　→ yp = 10xe - 3x - 3xe - x ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = c1e - x + c2e2x + c3e - 3x + 10xe - 3x - 3xe - x #*5. x3y''' + 0.75xy' - 0.75y = 9x5.5sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　→ y' = ( dy／dx ) = ( dt／dx )( dy／dt )　　　　 = ( 1／x )( dy／dt )　　　 y'' = ( d2y／dx2 ) = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　　 = ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　　 y''' = ( d3y／dx3 ) = ( d／dx )[ ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt ) ]　　　　  = ( 1／x3 )( d3y／dt3 ) - ( 3／x3 )( d2y／dt2 ) + ( 2／x3 )( dy／dt )　　原 Ｄ.Ｅ. 化為：( d3y／dt3 ) - 3( d2y／dt2 ) + 2.75( dy／dt ) - 0.75y = 9e5.5t　　上式變為簡單的 o.d.e.。　　特徵方程式：r3 - 3r2 + 2.75r - 0.75 = 0　　→ ( r - 0.5 )( r - 1 )( r - 1.5 ) = 0　　→ r = 0.5 , 1 , 1.5 ～ 三相異實根　　→ yh = c1e0.5t + c2et + c3e1.5t　　　 　 = c1x0.5 + c2x + c3x1.5 ～ 齊次解　　利用未定係數法求特解。　　令 yp = Ae5.5t　　→ ( dyp／dt ) = 5.5Ae5.5t　　　 ( d2yp／dt2 ) = 30.25Ae5.5t　　　 ( d3yp／dt3 ) = 166.375Ae5.5t　　( d3yp／dt3 ) - 3( d2yp／dt2 ) + 2.75( dyp／dt ) - 0.75yp = 9e5.5t　　→ 90Ae5.5t = 9e5.5t　　比較係數得：90A = 9 → A = 0.1　　→ yp = 0.1e5.5t　　　　  = 0.1x5.5　　通解：y = c1x0.5 + c2x + c3x1.5 + 0.1x5.5 #*　　第 6. 題實在太極緻了！光這題我就打了超過一千字元，而且我也不知道我算出來的答案是對是錯！因為超過字數我也 PO 不上來，而且我也不確定答案是對是錯，如果您想知道計算過程的話，能否再開一版讓我 PO 文？當然，不需要的話就不用另開版了。*　　希望以上回答能幫助您。