PA e PG - Resposta Certa = 10 Pontos?

Question

Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é...
(Só vale se for justificada a resposta)

Answer 1

Seja "r" a razão da PA e "q" a razão da PG.
Na PG seja a1 = a = 4, a2= b e a3 = c
Na PG, a1 = a = 4, a2 = b + 2 (do enunciado), e a3 = c (do enunciado)

r = a2 - a1 = (b+2) - a = (b+2) - 4 = b - 2
q = a2/a1 = b/a = b/4
---------------------------------------------------------------------------------

Na PA: an = a1 + (n-1)*r (regra geral)
Na PG: an = a1*q^(n-1) (regra geral)

P/ n = 3, temos:

Na PA: c = 4 + (2)*r
Na PG: c = 4*q^2

mas a3 da PA é igual ao a3 da PG, então:

4 + 2*r = 4*q^2

mas r = b-2, e q = b/4, logo:

4 + 2*(b-2) = 4*(b/4)^2
4 + 2*b - 4 = 4*(b^2/16)
2*b = b^2/4
8*b = b^2
b^2 - 8*b = 0
b*(b-8) = 0
b=0(nesse caso, impossível) ou b=8

então:
a PA (a, b+2, c...) fica assim: 4, 10, c...
e a PG (a, b, c) fica assim: 4, 8, c...

r = (b+2) - a = 10 - 4 = 6
q = b/a = 8/4 = 2

c = 4 + 2*r = 4 + 2*6 = 16 ou c = 4*q^2 = 4*4 = 16

Finalmente, o terceiro termo "c" é 16.

Answer 2

Caro colega,

Vamos lá. A fórmula do termo geral de uma PA é:

a(n) = a(1) + (n-1)*r

No seu caso, a(1) = 4, e desejamos descobrir a(3). Logo:

a(3) = 4 + (3-1)*r
a(3) = 4 + 2*r

A fórmula do termo geral da PG é:

b(n) = b(1)*(q^(n-1)).

Novamente, b(1) = 4, e desejamos descobrir b(3). Então:

b(3) = 4*(q^(3-1))
b(3) = 4*(q^2)

Sabemos, também, que a(3) = b(3). Portanto:

4 + 2*r = 4*(q^2)

Sabemos ainda que o segundo termo da PA excede em 2 o segundo termo da PG. Logo:

a(2) = b(2) + 2

Usando as duas fórmulas de termo geral:

a(1) + (n-1)*r = b(1)*(q^(n-1)) +2
4 + (2-1)*r = 4*(q^(2-1)) +2

4 + r = 4*q + 2

Portanto, temos um sistema de duas equações:

4 + 2*r = 4*(q^2)
e
4 + r = 4*q + 2

Da segunda equação, temos que:

r = 4*q -2

Substituindo na primeira equação:

4 + 2*(4*q -2) = 4*(q^2)
4 + 8*q - 4 = 4*(q^2)
4*(q^2) - 8*q = 0
4*q*(q - 2) = 0.

Temos duas opções, q = 0 ou q = 2, para a razão da PG.

Substituindo os dois resultados na equação r = 4*q -2, temos duas alternativas para a razão da PA:

r = -2 (para q = 0)
r = 6 (para q = 2)

Verificando no terceiro termo de ambas as progressões, temos

1. Para q =0 e r = -2:

a(3) = 4 + 2*r = 4 +2*(-2) = 0

b(3) = 4*(q^2) = 4*(0^2) = 0

Levando em conta que os terceiros termos das progressões são ambos estritamente positivos, ou seja, são positivos E diferentes de zero, partimos para o segundo par de soluções do sistema obtido, que são r=6 e q=2.

2. Para q=2 e r=6:

a(3) = 4 + 2*r = 4 + 2*6 = 4 + 12 = 16

b(3) = 4*(q^2) = 4*(2^2) = 4*4 = 16

Portanto, a(3) e b(3) são iguais a 16.

Answer 3

A resposta digna de 10 pontos é a de Lelo, ele explicou direitinho passo a passo e a resposta dele está correta e completa

Answer 4

a1 = 4
a2 = q + 2
a3 = ?
P.A. (4, 10, 16...)
P.G. (4, 8, 16)
16 = a1 + 2r
16 = a1x 2q
Substituindo:
a3 = 4 . 2(2)
a3 = 16
PA e PG têm como a3 = 16.

Answer 5

na mimha profissao pa=pressao arterial
e pg= pressao da glicose
kskskks