Uma industria quimica precisa de um recipiente cilindrico com capacidade pra 250 litros de um produto quimico. Sabendo que o material para fazer a "parede" desse recipiente é o que gera custo. Quais as medidas desse recipiente minimizando o custo ?
2006-11-22 10:24:53 · 4 respostas · perguntado por Caiuá 2 em Ciências e Matemática ➔ Matemática
O formato é esférico, porque tem a melhor relação superficie/volume.
Sabes a fórmula do volume da esfera? Eu esqueci.
2006-11-22 10:35:22 · answer #1 · answered by chefeclin 7 · 0⤊ 1⤋
A questão se resume a escrever o custo em função da quantidade de "parede", ou melhor, da área total da parede e do fundo do tanque.
.... Área = πr²+ 2πrh ..... [01] <--- r é o raio, h é a altura
.... Volume = 250 litros = 0,250 m3 = πr²h
.... h = 0,250/(πr²) ..... [02]
Substituindo [02] em [01],
..... Área = πr²+ 0,500/r
Para minimizar a área de acordo com o raio do tanque, deve-se igualar a derivada da área em relação ao raio e igualá-la a zero,
..... d(Área)/dr = 0
..... 2πr- 0,500/r² = 0
..... 2πr = 0,500/r²
..... r^3 = 0,500/(2π)
..... r = [0,500 /(2π)]^1/3 = 0,430 m
..... r = 43,0 cm ----> h = 43,0 cm
Resposta: se o custo for diretamente proporcional à área do tanque, as medidas ótimas são 43,0 cm de altura e 43,0 cm de raio.
2006-11-22 22:14:14 · answer #2 · answered by Illusional Self 6 · 0⤊ 0⤋
dimensões q exigirão menos material na construção de um cilindro:
sabemos q: 1 L = 1000 cm cúbicos, então:
250L = 250000 cm cúbicos, isso permite afirmar q o volume da lata será pi. r2 . h = 250000
Área da superfície da lata: A = 2 pi . r.r + 2 pi. r .h
sendo 2pi.r ao quadrado = 2pir2 = bases circulares
e 2 pi.r.h a parede do cilindro
ignorando a espessura do material e o desperdicio durant a fabricação, vamos procurar as dimensoes de r (raio) e h (altura) q permitem q a area da superficie total seja a menor possivel satisfazendo a exigencia d q pir2.h = 250000
isolando h, temos:
h = 250000/(pir2)
assim,
A = 2 pir2 + 2 pi.r.h
A = 2pir2 + 2pir(250000/pir2)
A = 2pir2 + 500000/r
derivando:
derivada da area= 4pir - 500000/r2
iguala-se a zero e deve apresentar um valor mínimo..
0 = 4 pir - 500000/r2
4pir3 = 500000
pir3=125000
r= raíz cúbica de (125000/pi)
r = 34,14
lembrando q: h= (250000/pir2), fazemos:
h = (250000/pir2) = 2 (raíz cubica de (125000/pi))= 2.r
então a altura deve ser o dobro da altura h= 68,3 aproximadamente.
2006-11-22 19:09:22 · answer #3 · answered by alx 2 · 0⤊ 1⤋
I don't know! Sorry!
2006-11-22 18:35:31 · answer #4 · answered by leozinho 2 · 0⤊ 1⤋