Duvida Geometria Analítica?

Question

1) Qual é a equação da madiatriz do segmento cujas extremidades são os pontos A (3,2) e B (-2,-4) ?

2) Qual a equação da reta que passa pela origem e pela intersecção das retas 2x+y-6=0 e x-3y+11=0 ?

Answer 1

1)
Mediatriz é a reta que passa pelo ponto medio de AB e é perpencular a esta.

M=([3+(-2)]/2 , [2+(-4)]/2)
M=([3-2]/2 , [2-4]/2)
M=(1/2 , -2/2)
M=(0,5 , -1)

Coeficiente angular do segmento:
m=(x-x0) / (y-y0)
m=(3-(-2)) / (2-(-4))
m=(3+20) / (2+4)
m=5/6

Coeficiente da reta:
m'=-6/5

E a reta passa pelo ponto medio do segmento:
m'=-6/5=(x-0,5) / (y-(-1))

-6/5=(x-0,5) / (y+1)
-6/5=(x-0,5) / (y+1)
(y+1)=(x-0,5) / (-6/5)
(y+1)=5(0,5-x) / 6
6y+6=2,5-5x
6y=2,5-5x-6
y=-(5x+3,5)/6

y=-(10x+7)/12


2)
Intersecao das retas 2x+y-6=0 e x-3y+11=0:
2(3y-11)+y-6=0
6y-22+y-6=0
7y=28
y=4

=>
x-3(4)+11=0
x=12-11
x=1

Ponto de intersecao:
p=(1;4)

Equacao da reta:
m=(4-0) / (1-0)=4

=>
y=4x

₢

Answer 2

Caro Renato :

A mediatriz é perpendicular à reta que passa pelos pontos A e B e contém o ponto médio do referido segmento .Vamos por partes :

Encontro da reta que passa por A e B :

Seja a eq. reduzida da reta ,
y = mx + q ,
onde m é o coeficiente angular da reta e q é o seu coeficiente linear ,logo,substituindo os pontos A e B,nessa reta, temos :

2 = 3m + q ;
- 4 = - 2m +q

diminuindo essas 2 eq. :

6 = 5m ------ m = 6/5

encontrando q :

q = 2 - 3m ;
q = 2 - 3. 6/5 ;
q = 2 - 18/5 = - 8/5

então a eq.reduzida da reta que passa pelos pontos A e B é y =6/5x - 8/5

Como a mediatriz é perpendicular á reta acima,significa que m' . m = -1 ,onde m' é o coeficiente angular da mediatriz ,
,logo m' = - 5/6

Eq. da mediatriz : y = m'x + t
y = - 5/6x + t

Como o ponto médio(P), de AB está sobre a mediatriz :
P =( A + B)/2 = ( 1/2 , - 1 )

substituindo na mediatriz :
- 1 = - 5/6 . 1/2 + t
t = - 1 + 5/12
t = - 7/12

Eq.reduzida da mediatriz :

y = - 5/6 x - 7/12 ou,

Eq na forma geral da mediatriz :

10 x + 12 y +7 = 0

2 ) Na intersecção das retas os xs e ys são iguais nas duas retas !!

Na segunda reta temos, x - 3y + 11 = 0 ,logo :
x = 3y - 11

Substituindo esse valor na primeira reta :

2.( 3y - 11 ) + y - 6 = 0 ;
6y - 22 + y - 6 = 0 ;
7y = 28 ;
y = 28 /7 = 4
encontrando x...

x = 3. 4 - 11 = 12 - 11 = 1

Logo a reta deve passar por (0,0) e (1,4)

Analogamente,queremos encontrar

y = mx + q ;
4 = m + q ;
0 = m.0 + q, implica que q = 0 e m = 4

eq. reduzida da reta desejada: y = 4x ou,

eq. geral da reta desejada : 4x - y = 0

Answer 3

1) A mediatriz passa pelo ponto x=(3-2)/2, y=(2-4)/2=> x=1/2 e
y=-1. A sua inclinação m é tal que m*(2+4)/(3+2)=-1 => m=-5/6.
Logo a equação é y+1=-5/6*(x-1/2)

2) A intersecção das retas é (1;4), basta resolver o sistema. Como passa pela origem pode-se escrever a equação da reta como:
y-0=(4-0)/(1-0)*(x-0)=>y=4x