Geometria?

Question

Um triângulo ABC, retângulo em A, tem área 8(raiz quadrada de 3) e m(AbC)=30º. O raio da circunferência circunscrita a esse triângulo mede:

Mas a hipotenusa passa pelo centro da circunferência?

Answer 1

Cara Layse :

Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semi-circunferência .

Se você traçar o triângulo ,vai observar que o ângulo de 90 graus é inscrito numa semi-circunferência,logo,ele subentende um arco de 180 graus,ou seja ,a sua hipotenusa CB é igual ao diâmetro da circunferência correspondente.

Vale a pena uma dica :

Como temos um ângulo de 30 graus nesse triângulo, o outro ângulo agudo vale 60 graus.Sempre que isso acontecer, a hipotenusa é o dobro do menor cateto ,ou seja : CB = 2.CA !!!

Em resumo ,chamando o raio da circunferência de R, temos :

CB = 2R ;
CA = R ;

Vamos usar o Teorema de Pitágoras , para encontrar AB em função de R :

CB² = CA² + AB² ;
4R² = R² + AB² ;
AB² = 3R² ;
AB = R. raiz de 3 .

Como trata-se de um triângulo retângulo , podemos tomar como base um dos catetos e como altura o outro cateto.Então ;

Área do triângulo ABC = (CA . AB) /2
8.raiz de 3 = (R . R.raiz de 3)/2
8 = R² /2 ;
R² = 16 ;
R = 4
OBS :
Cuidado , a altura relativa à hipotenusa NÃO é igual ao raio da circunferência,como o nosso amigo Beakman colocou p/você .Se não vejamos :
Supondo que o centro da circunferência seja o ponto O , pela hipòtese de Beakman , teríamos o triângulo ABO , retângulo e isósceles , portanto com dois ângulos de 30 graus,ou seja , esse triângulo teria a soma de seus ângulos internos igual à 30 + 30 + 90 = 150 graus , o que é um absurdo, pois a soma dos ângulos internos de qq triângulo è 180 graus!!
Um abraço !!!

Answer 2

ABC
A = 8\/3
M(ABC) = 30º
R =
A = (b x h) : 2
8\/3 x 2 = bh
16\/3 = bh
volto já!

Answer 3

a - altura do triangulo
b - base do triangulo

Area:
S=a*b/2=8*3^¹/2
a*b/2=8*3^¹/2
ab=16*3^¹/2

e
b/a=tg 30°=(3^¹/2)/3
b=a(3^¹/2)/3

=>
a[a(3^¹/2)/3]=16*3^¹/2
a²(3^¹/2)/3=16*3^¹/2
a²=3*16
a²=48
a=4*3^¹/2 <<<<<<<<<<<<<<<

=>
b=(4*3^¹/2)*(3^¹/2)/3
b=4 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Teorema de Pitagoras:
h²=a²+b²
h²=(4*3^¹/2)²+4²
h²=16*3+16=64
h=8

=>
p=(8+4+4*3^¹/2)/2 = (12+4*3^¹/2)/2 = 6+2*3^¹/2
:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
S = p*r
Onde S = area do triangulo , p = semi perimetro, e r = raio da circunferência inscrita no triangulo.
8*3^¹/2 = [(2*3^¹/2)+6]*r

r=(8*3^¹/2) / [(2*3^¹/2)+6]
r=(4*3^¹/2) / [(3^¹/2)+3]

r=1,4641

₢

Answer 4

Para resolver essa questão, basta se lembra que se o triângulo é retângulo, isto é, um de seus ângulos é 90º, então necessariamente o lado oposto a esse ângulo, a hipotenusa, é também o diâmetro da circunferência circunscrita.

Assim, basta encontrar a hipotenusa para saber qual é o valor do raio da circunferência, pois:

Diâmetro = Hipotenusa = 2 x raio

Claro, minha cara amiga...

Isso mesmo...

A hipotenusa passa pelo centro da circunferência.

Desculpe-me...Eu não expliquei porque a hipotenusa coincide com o diâmetro da circunferência circunscrita...

Você já estudou "Ângulos de uma circunferência"??

Quando o ângulo pertence à circunferência, isto é, o seu vértice toca a circunferência, ele é chamado de "ângulo inscrito".

Desenhe um círculo e dois segmentos de reta dentro dele de maneira que eles formem um ângulo (x) e que o vértice toque a circunferência.

Agora, veja que os segmentos também tocam o círculo com a sua outra extremidade. A região entre esses dois pontos é chamada de "arco de circunferência".

É óbvio que quanto maior o ângulo inscrito, maior é o arco de circunferência que ele forma. A relação entre o ângulo é o arco é a seguinte:

ângulo inscrito = metade do arco

Assim...No seu triângulo ABC, o ângulo de 90º do vértice A corresponde a um arco de 180º formado pelos vértices B e C do seu triângulo.

Logo, se o arco é de 180º, ou seja, se ele abrange a METADE da circunferência, então a hipotenusa que é formada pelo segmento BC só pode ser um segmento de reta que divide o círculo ao meio.

E podemos chamar esse segmento de DIÂMETRO.

Nossa...Geometria é muito legal!!

O Professor Carlos tem razão...O raio não pode ser a altura relativa à hipotenusa, pois a altura necessariamente deve ser PERPENDICULAR à base...

E, ao analisar os ângulos internos dos 2 triângulos que o tal raio formaria, eu vi que isso não é possível.

Desculpe-me, minha cara amiga...

O Professor tem razão desta vez.

Mas o resto está correto...