微積分~數學歸納法證之

Question

[f1(x)f2(x)...fn(x)]'=f1'(x)f2(x)...fn(x)+f1(x)f2'(x)...fn(x)+......+f1(x)...fn-1(x)fn'(x)
試用數學歸納法證之。(微積分老師臨時出的，全班都是高職畢業出了一題高中的證明範圍，高中生證明本來就比高職生強，所以全班只有傻眼的份！)想請問這題怎麼證，大家都知道它的式子，平常就套進去了沒關心過怎麼來的。那位善心人士可以說明一下！

Answer 1

兩個(即n=2)的情形課本或老師應該有證過(定理)，所以可以把它拿來用。(1) n=1時 [f1(x)]'=f1'(x) 成立( n=2時 [f1(x)f2(x)]'=f1'(x)f2(x)+f1(x)f2'(x) 成立 (定理) )(2)設 n=k 時[f1(x)f2(x)...fk(x)]'=f1'(x)f2(x)...fk(x)+f1(x)f2'(x)...fk(x)+......+f1(x)...fk-1(x)fk'(x) 成立( 下面要證明 n=k+1時 [f1(x)f2(x)...fk(x)fk+1(x)]'=f1'(x)f2(x)...fk(x)+f1(x)f2'(x)...fk(x)+......+f1(x)...fk-1(x)fk'(x)fk+1(x)+f1(x)f2(x)...fk(x)fk+1'(x) )則 n=k+1時[f1(x)f2(x)...fk(x)fk+1(x)]'=[f1(x)f2(x)...fk(x)]' fk+1(x) + [f1(x)f2(x)...fk(x)] fk+1'(x)　(定理)= [f1'(x)f2(x)...fk(x)+f1(x)f2'(x)...fk(x)+......+f1(x)...fk-1(x)fk'(x)] fk+1(x) + f1(x)f2(x)...fk(x)fk+1'(x)=f1'(x)f2(x)...fk(x)+f1(x)f2'(x)...fk(x)+......+f1(x)...fk-1(x)fk'(x)fk+1(x)+f1(x)f2(x)...fk(x)fk+1'(x)故由數學歸納法知∀n∈N[f1(x)f2(x)...fn(x)]'=f1'(x)f2(x)...fn(x)+f1(x)f2'(x)...fn(x)+......+f1(x)...fn-1(x)fn'(x) 成立