Seja f: IR _ IR dada por f(x) = 2x + 1. Verificar se existe a inversa de f. Caso existir, determiná-la.?

Answer 1

existe,pois a função é monótona e crescente,a inversa obtemos assim:
x=2y+1,isolamos o y:
x-1=2y
y=(x-1)/2 < ==resposta

Answer 2

Existe a inversa de f se e somente se f for bijetora, isto é, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Prova de que f é injetora:
Sejam x1 e x2 pertencentes a IR, tais que f(x1)=f(x2);
f(x1) = f(x2)
=> 2(x1) + 1 = 2(x2) + 1
=> x1 = x2
Ou seja, a única maneira de x1 e x2 apontarem para o mesmo valor na imagem é eles serem o mesmo. Logo, não existem dos valores diferentes no domínio que apontem para o mesmo valor na imagem. Portanto, a função é injetora.

Prova de que é sobrejetora:
Suponha y pertencente a IR tal que não exista x pertencente a IR que satisfaça f(x) = y. Então 2x + 1 != y, para qualquer x ("!=" denota diferente). Logo, x != (y - 1)/2. Mas a soma de números reais é um número real, então (y - 1) é um número real. O produto de números reais é um número real, então (y - 1).(1/2) é um número real. Logo (y - 1)/2 é um número real. Como x pode ser qualquer número real, não existe y pertencente a IR tal que 2x + 1 != y. Então não existe um número na imagem que não possa ser alcançado por um valor do domínio. Logo, a função é sobrejetora.

Sendo a função injetora e sobrejetora, ela é bijetora. Portanto, tem inversa.

Seja a f-¹ a inversa de f. logo f-¹(f(x)) = x.
f(x) = 2x + 1
Aplicando a função inversa dos dois lados, temos:
f-¹( f(x) ) = f-¹(2x + 1)
=> x = f-¹ (2x + 1)
substituindo y = 2x+1 na fórmula, temos:
(y - 1)/2 = f-¹(y)
=> f-¹(x) = (x-1)/2
sendo esta a inversa.

Answer 3

2y+1=x
2y=x-1
y=x-1/2

Answer 4

y=(x-1)/2

₢

Answer 5

??