Maria pôs um número inteiro em cada face de um cubo. Na parte onde as arestas de três faces se encontram ela pôs o produto dos números das três faces e fez isso toda as vezes que três arestas se encontravam. A soma dos produtos das que ela achou é 105, qual a soma dos números das faces?
2006-11-18 11:11:18 · 8 respostas · perguntado por Lucas 1 em Ciências e Matemática ➔ Matemática
Olha a resposta da Míriam:
A soma dos números das faces é 15. As faces são 1, 3 ,5 e 6 (1+3+5+6=15). Se encontram as faces 1, 3, e 5 (1x3x5=15) e as faces 3, 5, e 6 (3x5x6=90) e 15+90=105. Adorei. Resolvi usando um dado. Bjkas.
Sabe o que é o pior? A resposta dela tá certa...
Mas a explicação é absurda...
tipo...ela pegou dado e analisou..
vejam sras e srs que ela considerou que existem apenas 2 "encontros"
os "encontros" são as quinas do dado...e qualquer idiota sabe que um dado tem 8 quinas e não 2...ou seja..a resposta deve ser a soma de 8 números e não de 2...
outra coisa...ela disse que as faces são 1, 3, 5 e 6
algum dos srs. conhece um cubo que só tem 4 faces???
eu não...nunca vi...
bom...vejamos...
números inteiros em cada face de um cubo:
a , b , c , d , e , f
cada 3 formam uma "quina"
em cada quina o produto das faces
se são 8 "quinas" e cada face participa de 4 encontros
os produtos serão: (considerando as seguintes faces opostas: a-b , c-d , e-f, ou seja, faces que não formam "encontros")
1º - ace
2º - acf
3º - ade
4º - adf
5º - bce
6º - bcf
7º - bde
8º - bdf
a soma desses produtos dá 105:
(ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf) = 105
a x (ce + cf + de + df) + b x (ce + cf + de + df) = 105
(a + b) x (ce + cf + de + df) = 105
(a + b) x ((c x (e + f) + d x (e + f)) = 105
(a + b) x ((c + d) x (e + f)) = 105
A pergunta é quanto é:
a + b + c + d + e + f = ?
bom então temos 2 equações e 6 incognitas:
1- (a + b) x ((c + d) x (e + f)) = 105
2 - a + b + c + d + e + f = Y
então fatoramos o 105
3 x 5 x 7 = 105
podemos substituir na equação 1
então (a + b) = 3
(c + d) = 5
(e + f) = 7
escolhemos qualquer valor desde que a afirmativa continue valendo
ex: a = 1, logo b = 2
c = 2, logo d = 3
e = 3, logo f = 4
substituindo em 2:
1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 15 (essa é sua resposta..) ...
se quiser conferir, é só substituir na equação lá do começo:
(ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf) = 105
onde: a = 1, b = 2, c = 2, d = 3, e = 3, f = 4
então:
(1x2x3 + 1x2x4 + 1x3x3 + 1x3x4 + 2x2x3 + 2x2x4 + 2x3x3 + 2x3x4)
(6+8+9+12+12+16+18+24) = 105...
That's all Folks...
2006-11-18 14:33:39 · answer #1 · answered by Matheus/Tita 3 · 0⤊ 0⤋
A soma dos números das faces é 15. As faces são 1, 3 ,5 e 6 (1+3+5+6=15). Se encontram as faces 1, 3, e 5 (1x3x5=15) e as faces 3, 5, e 6 (3x5x6=90) e 15+90=105. Adorei. Resolvi usando um dado. Bjkas.
2006-11-18 19:33:16 · answer #2 · answered by ☼Miri@M☼ 4 · 1⤊ 0⤋
Caro Lucas :
Vamos considerar que as faces sejam : a , b , c , d , e , f .
É claro que podemos fazer com que que as duplas de faces opostas sejam : a , b
c , d
e , f .
Observe que os 8 produtos desejados não podem ter as duplas de faces acima como fatores ,logo , a soma dos produtos desejados é:
dae + daf + dbe + dbf + cae + caf + cbe + cbf=
da(e+f) + db(e+f) + ca(e+f) + cb(e+f) =
(e+f) ( da + db + ca + cb ) =
(e+f) [ d(a+b) + c(a+b) ] =
(e+f) (a+b) (c+d) = 105 = 3 . 5 . 7
Como os Nos das faces representam Nos inteiros, então , e+f , a+b, e c+d também são Nos inteiros,ok? Podemos arbitrar , dentro dessas possibilidades :
e+f = 3
a+b = 5
c+d = 7
Portanto a+b+c+d+e+f = 3 + 5 + 7 = 15
Um abraço!!!
2006-11-19 09:16:18 · answer #3 · answered by Carlos Homero Gonçalves Carrocin 6 · 0⤊ 0⤋
Rapaz, eu li esta questão na prova da 2ª Fase da 2ª OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas)! Pelo que vejo, vc participou!
Na realização da prova, li a questão, mas ñ consegui responder porque eu ñ li com atenção e por isso ñ entendi a pergunta.
Mas li agora, atenciosamente, e consegui enteder. Está fácil!
OBS: Pela minha memória, na pergunta estava: "número inteiro positivo"!
Vc ñ pôs a palavra "positivo"!
2006-11-18 21:17:58 · answer #4 · answered by francinho 1 · 0⤊ 1⤋
priminho, eu faltei esse dia da aula, aí não aprendi, mas me da os 10 pts, please!!! bjos
2006-11-18 19:53:42 · answer #5 · answered by Jú =','= 3 · 0⤊ 1⤋
Lucas esta aula de matemática eu faltei, portanto, não sei.
2006-11-18 19:27:41 · answer #6 · answered by Anildo 6 · 0⤊ 1⤋
Resolva para mim.
2006-11-18 19:22:29 · answer #7 · answered by serenaliri 4 · 0⤊ 1⤋
Eu sei resolver.
E você sabe?
2006-11-18 19:15:39 · answer #8 · answered by Anonymous · 0⤊ 1⤋