工程數學問題，請問這公式算是雙曲線函數嗎

Question

我剛學工程數學 拉氐轉換學一點點，有一題
1. f(t)=sin(wt) -->F(s) 進行拉氐轉換後為w/(s^2+w^2)
但我不懂的是將原式f(t)改成=> (e^jwt-e^-jwt)/2i 是什麼公式?
因為雙曲線函數 sinh(x)= (e^x-e^-x)/2 ， 而這拉氐原式的轉換後與
雙曲公式sinh(x) 卻差別分母多了i ，所以這是什麼公式阿?而且原式f(t)=sin(wt)又沒加h ，那裡是雙曲線函數?若說是雙曲線函數 但分母卻又多個i阿

2. f(t)=cos(wt)--->F(s) 進行拉氐轉換後為s/(s^2+w^2)
而課本將原式改為cosh(x) 雙曲的公式 再進行拉氐轉換。
所以我才想問 明明原式又沒有h 那知是雙曲函數? 還有即使是雙曲 為何許多書卻不加h 及為何sinh(x)分母部份卻多了i?
請好好回答我這2個問題 便選您最佳答案3q

Answer 1

　　版主您好，我們先釐清觀念，因為很多人初學雙曲線函數會因為他的數學號跟三角函數很相近，而產生混淆，先把三角函數的 Euler 公式寫出，再把雙曲線函數數學式定義寫出，您可比較其異同。*A. 三角函數　　Euler 公式：e + iθ = cos θ + i sin θ　　　　　　　 e - iθ = cos θ - i sin θ　　故由 Euler 公式可得：sin θ = ( e iθ - e - iθ )／2 i　　　　　　　　　　　  cos θ = ( e iθ + e - iθ )／2*　　接下來看雙曲線函數數學定義式，因為跟三角函數很像，所以常搞混！*B. 雙曲線函數　　雙曲線正弦 ( hyperbolic sine ) 函數：sinh θ = ( e θ - e - θ )／2　　雙曲線餘弦 ( hyperbolic cosine ) 函數：cosh θ = ( e θ + e - θ )／2*　　版主可否看出，雙曲線函數數學式並沒有複數 i！所以不要再跟三角函數搞混了囉！現在開始回答您的問題吧。*1. 題目略答：　　ƒ(t) = sin wt = ( e iwt - e - iwt )／2 i　　這是由 Euler 公式導來的，唸裡工科都要知道喔！取 Laplace 轉換為：　　£{ sin wt }= w／( s2 + w2 )　　對雙取線正弦函數 sinh wt 取 Laplace 轉換為：　　£{ sinh wt }= w／( s2 - w2 )　　跟三角正弦函數很像，分母差正、負號，但沒有多個複數 i 啊！　　只要是雙取線函數，一定會有〝h〞，如 sinh θ、cosh θ，以與三角函數作區隔，若題目說對雙曲線函數做轉換，但寫 £{ sin wt }，這一定是題目打錯，無庸置疑！*2. 題目略答：　　£{ cos wt }= s／( s2 + w2 ) ～ 三角餘弦函數之 Laplace 轉換　　£{ cosh wt }= s／( s2 - w2 ) ～ 雙曲線餘弦函數之 Laplace 轉換　　題目沒寫 cosh wt 或 sinh wt 就不是雙曲函數，考試時您看到沒多印個〝h〞絕對是書錯！　　考試時要算 £{ cos wt }，答案儘管寫 s／( s2 + w2 )，若劃掉算錯說答案是 s／( s2 - w2 )，儘管去要分數吧！因為題目是印三角餘弦函數、不是印雙曲線餘弦函數，這些數學定義是很清楚的，不會混淆。*　　希望以上回答能幫助您。