Dúvida: Geometria Analítica?

Question

1) A reta r é perpendicular à reta -3x+4y-5=0 e passa pelo ponto (1,2). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1,2).

2) A reta 2x+3y=5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo. Calcule o valor da hipotenusa desse triangulo.

Answer 1

A reta procurada deve ser perpendicular a y=(3x+5)/4 q tem coef. angular igual a m=3/4.

O coef. da nova reta deve ser o inverso negativo da primeira: m'=-4/3. Ela tem a forma y=m'x+b e o ponto (1,2) pertence a esta reta.
y=m'x+b

2=(-4/3)*1+b
b=2+4/3=(6+4)/3
b=10/3

A reta procurada é y=(-4x+10)/3

Distancia:
Os pontos devem pertencer a equacao da circunferencia (x-1)²+(y-2)²=5² e o ponto (x,y) deve pertencer a equacao da reta y=(-4x+10)/3:
(x-1)²+(y-2)²=5² .. e .. y=(-4x+10)/3
=>
(x-1)²+{[(-4x+10)/3]-2}²=25
x²-2x+1+[(-4x+10-6)/3]²=25
9x²-18x+9+(-4x+4)²=225
9x²-18x+9+16x²-32x+16=225
25x²-50x+25=225
25x²-50x-200=0
x²-2x-8=0

x=[2+-(2²+4*1*8)^1/2]/2
x=[2+-(4+32)^1/2]/2
x=[2+-6]/2
x'=-2
x''=4
=>
Os pontos sao tais q x é igual a -2 ou 4:
y=(-4x+10)/3

y=(-4(-2)+10)/3
y=(8+10)/3
y=6
e
y=(-4*4+10)/3
y=(-16+10)/3
y=-2

Resposta: Os pontos sao (-2,6) e (4,-2) <<<<<<<

2)A interseção da equação y=(-2x+5)/3 com x=0 e com y=0:

y=(-2*0+5)/3
y=5/3

0=(-2x+5)/3
0=-2x+5
2x=5
x=5/2 ............. pontos (0,5/3) e (5/2,0)

Hipotenusa:
h²=(5/2)²+(5/3)²
h²=(25/4)+(25/9)
h²=(25*9+25*4)/4*9
h²=(225+100)/36
h²=325/36
h=(5*13^1/2)/6

h=3 <<<<<<<<<<<<<<<<<<

₢

Answer 2

1) Para descobrir a reta perpendicular, vamos usar o produto escalar:
Da reta -3x+4y-5=0 temos o seguinte vetor: A = (-3, 4)
Queremos que a reta r seja perpendicular, logo o produto escalar de A x R = 0:
A x R = -3*Rx + 4*Ry = 0 => 4Ry = 3Rx
Para termos coeficientes inteiros, escolho Rx = 4 e Ry = 3... logo:
Reta r: 4x + 3y + a = 0
Como r passa por (1,2), podemos descobrir a:
4*1 + 3*2 + a = 4 + 6 + a = 0 => a = -10

Queremos os pontos P1 e P2 que distam 5 unidades de (1,2). Para isto:
distância = ((x-1)^2 + (y-2)^2)^(1/2) = 5
Da reta r: 4x+3y-10=0 => x=(10 - 3y)/4
Então: ( ((10-3y)/4-1)^2 + (y-2)^2 ))^(1/2) = 5
( ((6-3y)/4)^2 + (y-2)^2 ) = +- 25 (obs: pode ser + ou -)
um pouco de álgebra chegamos a:
y^2 - 4y + 4 = +-16 => y^2 -4y +20 =0 ou y^2 -4y -12 =0
Resolvendo as equações, temos que só a segunda possui solução, que são: y=6 ou y=-2
Usando x=(10 - 3y)/4, temos os pontos:
P1=(-2,6) e P2=(4,-1)

2) Esta é simples: Acharemos os pontos interceptados:
Y: 2*0 + 3*y =5 => y=5/3 => Y=(0, 5/3)
X: 2*x + 3*0 = 5 => x=5/2 => X=(5/2, 0)
o valor da hipotenusa nada mais é que a distância entre estes dois pontos. Assim:
D = |X-Y| = ( (5/2)^2 + (5/3)^2 )^(1/2) = ( 25/4 + 25/9 )^(1/2) =
(225/36 + 100/36)^(1/2) = (325/36)^(1/2) = Raiz(325)/6
Usando a calculadora, temos que D ~ 3,0046

Answer 3

1)use a formula:
(eu naum achei o simbola de raiz no teclado... vou usar "ra" para raiz quadrada, e "qua" para ao quadrado, ta? ^^)
D= distancia entre 2 pontos.
"D= a raiz de :x1-x2 ao quadrado + y1-y2 ao quadrado "
vc ja tem a distancia=5 e 1ponto:

5=ra: 1-x qua + 2-y qua == 5=ra 1-2x+xqua + 4-4y+yqua
*passa a raiz para o outro lado e faz 5 ao quadrado==
25=5+xqua-2x+yqua-4y...
agora eh so terminar...

2)se intercepta os eixos eh pq um ponto eh (x,0) e o outro eh (0,y);ai vc substitui uma vez o y por 0 na equaçaum da reta que foi dada e outra vez o x por 0. entaum vc tera 2 pontos.
ai vc aplica naquela formula que eu dei la em cima.
intendeu?vc vai discubrir a distancia entre os dois pontos ou seja a hipotenusa!!! = )

obs: a raiz vc tira de tudo, naum eh so do x1-x2, eh do x1-x2 e doy1-y2.... capiche?