distancia ponto e reta?

Question

descubra a equação da reta q passa por A(0,0) e q dista 1 de P(1,2)

o problema eh q eu soh tenho ateh distancia entre ponto e reta e naum posso usar a circunferencia q eh um assunto posterior

Answer 1

Sem usar circunferência. Beleza. Lá vai (favor considerar "^" = "elevado a"):
--> São duas retas possíveis:

1ª) Obviamente, o ***** eixo y *****

2ª) Reta desconhecida = ax + by + c = 0

*c=0, pois c é onde a reta "corta" o eixo y, e ela passa pela origem.

*logo, pela equação da distância do ponto à reta, temos:

1 = (Módulo de) a.x(ponto) + b.y(ponto) + c / [a^2 + b^2]^1/2
1 = a.1 + b.2 + 0 / [a^2 +b^2]^1/2
[a^2 + b^2]^1/2 = a + 2b
a^2 + b^2 = a^2 + 4ab+ 4b^2
3b^2 + 4ab = 0
4ab = -3b^2
a = -3b^2/4b
* a = -3b/4

*Substituindo o valor achado de a na equação da reta:

-3bx/4 + by = 0
b ( -3x/4 + y) = 0


********** Reta desconhecida --> -3x/4 + y = 0 **********



* PROVA REAL:

d = (Módulo de) a.x(ponto) + b.y(ponto) + c / [a^2 + b^2]^1/2
d = -3/4 . 1 + 1 . 2 / [ (-3/4)^2 + 1^2]^1/2
d = -3/4 + 8/4 / [9/16 + 16/16]^1/2
d = 5/4 / [25/16]^1/2
d = 5/4 / 5/4

***** d= 1 *****

Answer 2

Fiz um desenho do grafico aqui e conclui q no ponto P deve existir uma circunferencia de raio 1 e as retas q vc deseja deve ser tangente a essa circunferencia. Pelo desenho, verifica-se que o eixo dos x é uma das retas q vc deseja, mas a outra eu nao sei calcular.

Mas interessante seria axar a outra...

A equação q se deseja achar é do tipo y=mx+b. Como ela passa pela origem, b é igual a zero. Basta achar o coefiente angular.

A equacao da circunferencia é (x-2)²+(y-1)²=1. A equacao da reta (y=mx) tem um ponto em comum com a circuferencia e esse ponto determina q a reta procurada é tangente a circunferencia.
O que implica que:
(x-2)²+(y-1)²=1
=>
(x-2)²+(mx-1)²=1
x²-4x+4+m²x²-2mx+1=1
(m²+1)x²-(2m+4)x+4=0

Para q esta função tenha uma raiz é preciso que delta seja igual a zero:
b²-4ac=0
(2m+4)²-4*4*(m²+1)=0
4m²+16m+16-16m²-16=0
-12m²+16m=0
12m²=16m
12m=16
m=16/12
m=4/3

Entao a reta procurada é:

y=4x/3 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Eu fiz o desenho desse grafico no winplot e deu certinho!
₢

Answer 3

não entendo nada de Geometria analítica!