Existem mais derivadas que são iguais às suas funções, além da de euler?Se tiver, quais e quantas?

Question

Por exemplo:f(x) = ex
f´(x) = ex
Esse "X" é expoente.

Answer 1

Não, a função e(x) é única. Na verdade, o certo seria e(x+C), onde C é uma constante qualquer.
Para provar isso, resolve-se a equação diferencial y' = y, onde y' é a derivada de y, e y uma função de x. Por teorema, a equação tem uma solução, adicionda de uma constante.
Resolvendo, chegamos em y = e(x+C), onde C é qualquer número real. No caso e(x), C = 0. Mas faça o teste, e veja que C pode ser qualquer número, que a derivada da função será ela mesma.

Answer 2

As funcoes de R em R que igualam-se às suas derivadas são as do tipo f(x) = k e^(x), sendo k uma constante real. As que não são identicamentes nulas são as aquelas para as quias k<>0.