Wie pack es in eine Gleichung?

Question

Also erstmal die Aufgabe:
Um die Tiefe eines Brunnens festzulegen wirft ein Mann eine Münze hinein. Er hört das auffallen 1,5 sec nach dem Loslassen.
Wie tief ist der Brunnen. Denke die Schallgeschwinigkeit - 343m/s.
So hier hab ich den freien fall. Also S = 1/2 g * t^2. Ohne der schaffgeschwindigkeit wär der Brunnen 11,03625 m tief, aber wie krieg ich die schallgeschwinidgkeit indie Gleichung.

HÖÖÖP. mmmhh... Mein Lehrer besorgt sich also unsere Hausaufgaben aus dem Inet ... Jetzt müsste ich das nur noch verstehen
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/musteraufgaben/03_lin_wurf/brunnen/mustergb5.htm

Das mit dem Gewicht stimmt nicht Seepferdechen ^^

Answer 1

Nun du hast im Prinzip 3 Gleichungen:

s = 1/2 g * (t1)^2
s = v * (t2)
(t1) + (t2) = tg

Darauf folgt:
(t2) = s/v
s = 1/ 2 * g (tg -t2)^2
s = 1/2 * g*( (tg)^2 + 2tg*(t1) + (t1)^2)
s = 0.5g (tg^2 + 2tg * s / v + (s/v)^2
Daraus bekommst du eine Quadratische Gleichung, ich hoffe, das dein Problem damit gelößt ist. Ansonsten schau mal nach Mitternachtsformel bei Wikipedia.

(Da v die Schallgeschwindigkeit ist und s eine sehr kleine Strecke ist ist s/ v sehr klein. Und da es noch im Quadrat ist kann man sagen es ist klein 2. Ordnung und damit wirklich vernachlässigbar.

Answer 2

@Rotte: Genau darin liegt der Reiz der Aufgabe, nämlich physikalische Zusammenhänge in eine mathematische Beziehung zueinander zu setzen.

@seepferdchen: Also wenn ich so einen Unsinn höre. Das Gewicht spielt überhaupt keine Rolle für den Fall der Münze. Das ist doch wohl mit das erste was man in Physik vermittelt bekommt. dass die Masse keine Rolle spielt sondern der treibende Faktor die Erdbeschleunigung ist. Wenn, dann spielt höchstens die Form und die EIgendynamik der Münze beim Fallen eine Rolle, aber diese EInflüsse sind bei den kleinen Geschwindigkeiten vernachlässigbar.

Es gelten zwei Gleichungen:

s = ½gt1²

für die Fallstrecke und

s = c*t2

für die Schallstrecke. Da der Schall den gleichen Weg zurücklegt wie der fallende Stein, sind beide Wege gleich. Dies führt zum Lösungsansatz:

½gt1² = c*t2

Nun gilt es noch eine Beziehung zwischen t1 und t2 aufzustellen und dies liegt in der gemessenen Zeit tg = 1.5s woraus letztendlich folgt:

tg = t1 + t2

mit t1 gleich Fallzeit und t2 gleich Schalllaufzeit. Um die Rechnerei einfach zu halten ersetze ich t2, das erspart mir das quadrieren:

t2 = tg - t1

Damit wird die zu lösende Gleichung wie folgt ausgerückt:

½gt1² - c*(tg -t1) = 0

½gt1² + c*t1 - c*tg = 0

Nun erfolgt die ganz normale Lösung einer quadratischen Gleichung aber ich denke mal, dass du das selbst kannst. ;-))

@letzte Mahnung:

Natürlich hast du recht und diebezüglich auch Seepferdchnen. Aber wie schon gesagt, es geht in der Aufgabe darum zwei physikalisch unabhängige Vorgänge die nur über den Zeitfaktor miteinander verbunden sind mathematisch zu sammen zu führen und in dieser Abhängigkeit eine Lösung auszuarbeiten. Wenn man es genau nimmt, führt das ganze Problem auf eine komplexe Differentialgleichung in der alle Größen während diese Vorganges beschrieben werden. Und das sind ne ganze Menge, Luftdichte, Temperatur, Luftdruck sind Größen, die sich mit der Höhe verändern, Schallgeschwindigkeit ist vom Zustand und somit auch von der Änderung der Zustandsgrößen der Luft abhängig , Geometrie der Münze hat Einflüss durch ihren cw (Luftwiderstandsbeiwert), rotiert sie während des Falls oder fällt sie konstant herunter. Wie du siehst, lässt sich das ursprüngliche Problem gewaltig aufblasen. Das war aber nicht der Sinn der Aufgabenstellung aber trotzdem (@Seepferdchen) der Beachtung wert.

Answer 3

Gegeben eine Münze, die in einen Brunnen fällt:
Beregnen wie tief den Brunnen ist.

. Top
. ╥
. ║
. ║
. ║
. ║ .↓. g =9,82 )m/s²
. ║
. ║
. ║
. ╨
Boden.

Schallgeschwindigkeit = Vs= 343m/s

Es dauert t1 Sekunden, bevor die Münze auf dem Boden kommt.
Es dauert t2 Sekunden, bevor der Schall von dem Boden zurück kommt
Die totale Zeit, bevor man den Schall hört

1). . t =.t1+t2 =1,5 [s]
- - - - - - - - - -- -
Lasse uns die Tiefe des Brunnens als S bezeigen.

Es gilt für den Fall:

2). . S = ½g( t1 )²

Es gilt für die Rückkehr des Schalls.

3). . S = Vs*t2

Wir haben dann von 2) und 3)

½*g*(t1)² = Vs*t2 => t2 = g*( t1 )²/(2 * Vs)

Dies Ergebnis einsetzen wir in 1)

1,5 = t1+t2 = t1 + g*( t1 )²/(2 * Vs) =>
g/(2*Vs) *( t1 )² + t1 -1,5 = 0

Nun haben wir einen Ausdruck aus der Form:

0= A*(t1)² + t1*x + C. A = g/(2*Vs), B = 1, C = -1,5

und es hat die Lösung:
t1= (-B ± √D)/(2*A) ; D = B² - 4 * A *C

Wenn du die Lösung dieser Gleichung ausgerechnet hast, hast du t1
und die Tiefe des Brunnens ist dann:

T = ½*g*( t1)²
========

Answer 4

Hei,
Ja, habe auch über die Gesamtzeit gerechnet.

tg= tf +ts, Gesamtzeit ist Fallzeit + Schallzeit
tf=Wurzel(2*s/g),
ts =s/v.
tg = Wurzel(2*s/g) + s/v
1,5 = Wurzel(2*s/9,81) + s/(343m/s).

mit der p-q-Formel kann man die quadratische Gleichung Lösen, oder?

mfg

Answer 5

oh je und das hier am späten abend ich glaube da bekommst du keine frage mehr hier daruf

Answer 6

Ich muss hier Seepferdchen verteidigen, denn wenn bei der kleinen Strecke sogar die Schallgeschwindigkeit nicht vernachlässigt wird, dann auch nicht der Luftwiederstand der Münze. Dafür braucht man neben der Form der Münze auch seine Masse. Wichtig wäre sogar zu fragen mit welcher Geschwindigkeit der Mann die Münze in den Brunnen wirft.

Answer 7

Ist denn die Einberechnung der Schallgeschwingigkeit überhaupt gefordert? Bei ca. 10m ist die Zeit vom Aufprall bis zum erreichen des Ohres ja nur 0,03 Sekunden, das würde ich als vernachlässigbar klein bezeichnen.

MfG Rotte

Wenn du den Schall unbedingt mitberechnen willst, wirst du wohl ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen brauchen.

Answer 8

kommt auch drauf an, wie schwer die Münze ist, denn je schwerer sie ist, desto schneller fällt sie.
Außerdem musst Du wissen, wie weit der Typ vom Brunnen weg ist, oder steht er direkt dran?
Wann fängt das Wasser im Brunnen an? auf halber Höhe?
Möchtest Du also wissen, wann das Wasser beginnt, oder wie tief der Brunnen insgesamt ist.
Mathematik braucht PRÄZISION!!!
mit so ner wischi-waschi - Aufgabenstellung kommen 1000 verschiedene Ergebnisse raus.