Equação da Circunferencia II?

Question

A reta y=mx (m>0) é tangente à circunferencia (x-4)²+y²= 4 . Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x.

Gostaria que a resposta fosse detalhada quando ao raciocinio. Obrigado.

Answer 1

No ponto de tangência, a derivada da função que representa a circunferência iguala-se ao coeficiente angular da reta, m. Calculando-se derivada implícita, temos que 2(x-4) + 2y*y' = 0 => y' = (x-4)/y para y não nulo. Assim, no ponto de tangência temos

- (x-4)/y = m => pois a reta tangencia a circunferência, e

mx = raiz(4 - (x-4)^2), pois a reta intersecta a circunferência

Considerando que y = raiz(4 - (x-4)^2), vc tem um sistema de equações em m e x. Dá um certo trabalho, não vou poder resolver agora, mas a solução está indicada. No, final, não esqueça de tomar o valor de m que seja positivo.

Para obter o seno do ângulo desejado a temos que m = tan(a). Logo, 1 + m^2 = 1 + tan(a)^2 = sec(a) ^2. Então. cos^2(a) = 1/(1 + m^2). Aih vc calcula o seno por sen^2(a) + cos^2(a) = 1. Tome o valor positivo, pois m>0

Answer 2

Antes de começar a calculeira, esboce a circunferência e a reta!

Antes de mais nada, você deve encontrar qual é o raio e o centro da circunferência (o raio é 2 e o centro fica em (4, 0)). Podemos unir com uma reta este ponto de tangência ao centro da circunferência (radial) e que formará um angulo reto com a reta y=mx (oras, a radial é necessariamente perpendicular com a circunferência e, logicamente, perpendicular à reta no ponto de tangência).

Desenhando tudo isto fica mais fácil: unido a origem (0, 0) com o centro da circunferência (4, 0) e o ponto de tangência (é possível descobrir, mas não é necessário), formamos um triangulo retângulo (o angulo reto é formado justamente pela reta y=mx e a radial).

Podemos calcular para este triangulo o seguinte:
Cateto oposto = raio da circunferência = 2
Hipotenusa = distancia entre a origem e o centro da curva = 4

Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa, o seno é igual a 0,5!

Pena que não dá pra desenhar, mas é isto!

Answer 3

Concordo com Gilbert. Há infinitas retas que tangenciam a circunferência. No entanto, o candidato devepressupor que a reta passa pela origem dos eixos para chegar ao gabarito.

Outras retas que cruzam o eixo x também podem tangenciar a circunferência, mas cada uma com seu coeficiente angular, portanto, cada uma com seu seno.

Answer 4

Não sei se compreendi bem a pergunta ou se é do tipo 'pegadinha', pois há infinitas retas nesta situação e não apenas uma como o problema sugere; a tangente do ângulo que a reta faz é m=y/x (cateto oposto sobre a hipotenusa).