<工程數學>幫忙解答三個題目(急!!!)[20點]

Question

1.解 y" + 3y' + 2y = 8x+8

2.解 y' + 2xy = 4x , y(0) = 1

3.解 x²y" + 6xy' + 4y = 0 , y(1) = 1 , y'(1) = 2

題目請看清楚再解答唷 儘快><

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Answer 1

1. y'' + 3y' + 2y = 8x + 8sol：　　特徵方程式 ( characteristic equation )：r2 + 3r + 2 = 0　　→ ( r + 1 )( r + 2 ) = 0　　→ r = - 1 , - 2 ～ 相異實根　　→ yh = c1e - x + c2e - 2x ～ 齊次解 ( homogenous solution )　　利用未定係數法 ( method of undetermined coefficient ) 求特解 yp。　　令 yp = Ax + B　　→ yp' = A　　　 yp'' = 0　　yp'' + 3yp' + 2yp =8x + 8　　→ 2Ax + ( 3A + 2B ) = 8x + 8　　比較係數得：2A = 8 → A = 4　　　　　　　　3A + 2B = 8 → B = - 2　　→ yp = 4x - 2 ～ 特解 ( particular solution )　　通解 ( general solution )：y = yh + yp　　→ y = c1e - x + c2e - 2x + 4x - 2 #*2. y' + 2xy = 4x , y(0) = 1sol：　　原式為一階線性 o.d.e.，必有一積分因子如下：　　I(x) = e∫2xdx = ex^2　　解為：y = e - x^2 (∫4xex^2dx + c )　　　　　   = e - x^2 [∫2ex^2d( x2 ) + c ]　　　　　   = e - x^2 [ 2ex^2 + c ]　　　　　   = 2 + ce - x^2　　→ y = 2 + ce - x^2　　y(0) = 1 → x = 0 , y = 1　　→ 1 = 2 + ce0　　→ c = - 1　　→ y = 2 - e - x^2 #*3. x2y'' + 6xy' + 4y = 0 , y(1) = 1 , y'(1) = 2sol：　　原式為標準的 Cauchy - Euler 方程式，以標準的方法解。　　令 y = xm　　→ y' = m x m - 1　　　 y'' = m( m - 1 ) x m - 2　　將 y、y'、y'' 代回 x2y'' + 6xy' + 4y = 0 得：m( m - 1 ) x m + 6m x m + 4xm = 0　　→ [ m( m - 1 ) + 6m + 4 ] xm = 0 → m( m - 1 ) + 6m + 4 = 0　　→ m2 + 5m + 4 = 0 ～ 輔助方程式 ( auxiliary equation )　　→ ( m + 1 )( m + 4 ) = 0　　→ m = - 1 , - 4 ～ 相異實根　　→ y = c1x - 1 + c2x - 4　　y(1) = 1 → x = 1 , y = 1　　→ c1 + c2 = 1　　y' = - c1x - 2 - 4c2x - 5　　y'(1) = 2 → x = 1 , y = 2　　→ - c1 - 4c2 = 2　　解 c1、c2 得：c1 = 2、c2 = - 1　　→ y = 2x - 1 - x - 4 #*　　希望以上回答能幫助您。