Como calculo a Transformada de Laplace de F(t)=4cos²(2t)?

Question

Como posso calcular a Transformada de Laplace de
F(t)=4cos²(t)?
Já coloquei na equação mas vai dar um integral imprópria, muito difícil de resolver na mão. Por favor, matemáticos, me ajudem!

Answer 1

Ola
Passarei os passos principais para que voce possa efetuar este calculo. Sendo F(t)=4 cos²(2t ), devemos calcular a transformada de Laplace, isto é:

L[ F(t) ] = ∫[(e^ -s*t)*F(t)] dt, em [0,∞[ (A0)
assim
L[ F(t) ] = ∫[(e^ -s*t)*4*cos²(2t )] dt, em [0,∞[ (A)

1º) Vamos utilizar um teorema, cuja demonstraçao pode ser encontrada na literatura:
Se L[ F(t) ] = f[s] ==> L[ F'(t) ] = s* L[ F(t) ] - F(0)

Assim temos uma equaçao para calcular L[ F(t) ], ou seja,

L[ F(t) ] = ( L[ F'(t) ] + F(0) )/s (B)

Porque fizemos isto? Como voce percebeu, o calculo da integral da equaçao (A) se torna dificil de se fazer, dai devemos procurar, por ex, um teorema que possa nos ajudar nesta trabalho.

2°)
> Calcule: F'(t)
Como F(t) = 4 cos²(2t ), nomeamos y = cos( 2t ), dai ficamos com F(t) = 4 [ y(t) ]², e a seguinte relaçao: F --> y --> t.
Utilize a regra da cadeia, e obtera a seguinte expressao:
F'(t) = -16 cos( 2t ) sin( 2t )
e utilizando a transformaçao trigonometrica da adiçao para o seno, ficamos com

F'(t) = -8 sin( 4t ) (C)

> Calcule F(0) = 4 cos²(2 *0 ) ==> F(0) = 4 (D)

3º) Substituindo (C) e (D) em (B), obtemos:

L[ F(t) ] = ( L[ F'(t) ] + F(0) )/s = L[ -8 sin( 4t )] / s + 4/s

Pela propriedade de linearidade de L, temos:

L[ F(t) ] = -8 * L[ sin( 4t )] /s + 4/s (E)

4º) O resultado da transformada L[ sin( 4t )] pode ser calculado utilizando a expressao (A0), que nao é dificil, ou tomado de tabelas ja prontas, por se tratar de uma funçao elementar. Utilizaremos os resultados tabelados da transformada de Laplace para a funçao sin( 4t ), dai:

L[ sin( 4t )] = 4/(s² + 4²) (F)

5º) Substitua (F) em (E):
L[ F(t) ] = -8 *4/(s² + 4²)*s + 4/s
Portanto:

L[ F(t) ] = (32 + 4 s²) / (16 s + s³)

Espero que lhe ajude.
Abraço

Answer 2

Usando a transformação trigonométrica 4cos²(2t) = 2cos(4t) + 2;
logo, £[4cos²(2t)] = £[4cos(4t) + 4], assim:
£[4cos²(2t)] = 2£[cos(4t)] + 2£[1];
£[4cos²(2t)] = 2s/(s²+16) + 2/s;
Espero que tenha ajudado.

Answer 3

Segundo a referência http://calc101.com/special_2.html ,

..... F(t) = 4*cos²(2t) = 4*[1/2*(1+ cos(4t))] = 2+ 2*cos(4t)

Segundo http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform ,

..... L{ F(t) } = 2/s+ 2s/(s²+ 4²) = (2s²+ 32+ 2s²)/[s(s²+ 16)] = (4s²+ 32)/[s(s²+ 16)]

Answer 4

Cara!
Minha preguiça foi maior q minha curiosidade em saber o resultado.
Aqui tem alguns profs de matematica q podem te ajudar muito mais q eu. Mas se vc nao tiver resposta me manda um mail.

Axo meio dificil de dar integral impropria. Vc ta usando definicao. Melhor usar as formulas.

Ah! Eu vou ter q reestudar, relembrar pra resolver essa questao.