Por que as linhas não-nulas de uma matriz na forma escalonada são sempre linearmente independente?

Question

Mande demonstração de forma simples

Answer 1

Ola
Mostrar este teorema de forma simples, na minha opiniao, é prova-lo utilizando um exemplo. Compreendeu o exemplo, dai pode-se generalizar facilmente.

I) Tome um sistema de equaçoes lineares S ja escalonado:
S:
5*x - 2*y + 3*z = 2
y + z = 1
0*z=0

A soluçao de sistema S é {x , y , z} = {-z, -1-z , z}, para qualquer z real. Assim o sistema S é Possivel e Indeterminado.

II) O sistema S pode ser escrito na forma matricial:

A.X = B

sendo X={x , y , z} a matriz coluna 3x1 das incognitas, B={2,1,0} matriz coluna 3x1 dos termos independentes e A a matrix 3x3 dos coeficientes, dada por:

A={{5, -2 , 3} ,{0 ,1, 1} , {0,0,0}}

III) Sabemos que cada linha da matriz escalonada A é um vetor, ou seja, u1 = {5, -2 , 3}, u2 = {0 ,1, 1} e u3 = {0,0,0}}.

( ** hipotese do teorema ) Tomemos somente as linhas nao-nulas da matriz escalonada A:
u1 = {5, -2 , 3} e u2 = {0 ,1, 1}.

IV) Provemos que o conjunto {u1, u2} é L.I.
De fato, pela "reduçao ao absurdo" vamos supor que {u1, u2} é L.D. Entao um dos dois vetores, por exemplo, u1, pode ser escrito como combinaçao linear do outro, u2, ou seja:
u1 = a*u2
sendo "a" um numero real e "*" a operaçao multiplicaçao de escalar por vetor, ou seja:
{5, -2 , 3} = a* {0 ,1, 1} ==> {5, -2 , 3} = {a*0 ,a*1, a*1} ==> {5, -2 , 3} = {0 ,a, a} .

Pela igualdade de vetores, temos na primeira coordenada que:
5 = 0 (Falso) (Absurdo)
Onde esta o absurdo? Esta em considerar {u1, u2} sendo L.D.
Portanto {u1, u2} é LI, como queriamos provar.

V) Generalize agora o teorema, tomando agora o conjunto de vetores {u1, u2, ... ,un} como sendo representantes de linhas nao-nulas de uma matriz A escalonada, e prove {u1, u2, ... ,un} é LI pela "reduçao ao absurdo" (esta é uma tecnica de demonstraçao matematica e foi desenvolvida pelos pitagoricos).

Espero que lhe ajude e obrigado pela pergunta.
Abraço