Krümmungstensoren der allgemeinen Relativitätstheorie.?

Question

Kann mir jemand für einen Nichtmathematiker die Berechnung der Krümungstensoren aus der allgemein Relativitätstheorie erklären?

Answer 1

Krümmungstensoren zu berechnen erfordert tatsächlich wesentlich mehr hirnschmalz als grundrechnungsarten und differenzieren zu beherrschen.
es ist ein sehr abgehobenes und mathematisch hochkpmplexes gebiet, welches mehr als nur die kenntnisse von tensoren vorraussetzt.

aber ich will versuchen, es ganz einfach und kurz auszudrücken:
einsteins erkenntnis war, dass man das raum-zeit-kontinuum, also sozusagen das grundgerüst unseres universums, mit tensoren ausdrücken kann. sprich: man kann es auf ein korrdinatensystem projizieren. (tensoren sind mehr oder weniger riesige matrizen und gehorchen speziellen rechengesetzen).
Zunächst mal berechnet man nicht die Krümungstensoren aus der allgemeinen Relativitätstheorie, sondern aus den Krümmungstensoren die Theorie:
Mithilfe eines Krümmungstensors (sozusagen die zweite Ableitung eines metrischen Tensors) und einigen anderen Kriterien kann man einen sog. Einsteintensor herleiten, der dann seiterseits auf die Einstein-Gleichung führt. Und eben diese gibt, je nachdem was man einsetzt, Auskunft über die Materieverteilung im Universum.
Eine Lösung dieser Gleichung ist etwa der Schwarzschild-Radius von schwarzen Lödchern.
Die Grunderkenntnis der Theorie ist: Massen krümmen den Raum, ebenso Energien. was in wirklichkeit eine raumkrümmung ist, "spüren" wir dann als Gravitation.

Answer 2

In der Allgemeinen Relativitätstheorie geht es darum, den Metrischen Tensor, also die Vorschrift, wie der Abstand zwischen zwei nicht zu weit voneinander entfernten Punkten zu berechnen ist, zu bestimmen.
Der volle Riemannsche Krümmungstensor ist ein Tensorfeld vierter Stufe in einem vierdimensionalen Raum. Das heißt, er hat 4^4=256 Komponenten. Verschiedenene Symmetrieeigenschaften reduzieren die Zahl der unabhängigen Komponenten auf 80. Stell dir eine 4x4 Matrix vor, die statt Zahlen wiederum 4x4 Matrizen enhält. Diese wiederum enthalten auch keine Zahlen, sondern Funktionen von vier Variablen (deshalb Tensorfeld). Mithilfe dieses Tensors lässt sich der 2-stufige Ricci-Tensor R_ij berechnen, eine 4x4 Matrix aus Funktionen sowie der Krümmungsskalar R. Mit den beiden letzteren Größen und dem Energie-Impulstensor kann man die Einsteinschen Feldgleichungen für den metrischen Tensor g_ij - also die gesuchte Größe - angeben.

Wie rechnet man da jetzt irgendwas aus? Wenn du das genau wissen willst, wirst du nicht umhinkommen, ein entsprechendes Buch zu lesen. Ich habe vor Jahren "Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie" benutzt.
Ich bin sicher, dass es mit etwas Googeln auch möglich ist, ein entsprechendes Vorlesungsskript zu finden. Der Wikipediaartikel ist als Einstieg auch nicht schlecht.

Answer 3

Die Formeln kann man an dieser Stelle wohl kaum erklären. Zur Vorstellung so viel: Wenn ein Raum nicht gekrümmt ist, so kann man Objekte (speziell Vektoren) entlang der Koordinatenrichtungen auf verschiedenen Wegen von einem Punkt zum andern bewegen, ohne dass man einen Unterschied feststellen kann. Bei einem gekrümmten Raum (beispielsweise einer Kugeloberfläche) hängt das Ergebnis aber davon ab, entlang welcher Wege man gegangen ist, das Objekt ist am Ende bei verschiedenen Wegen unterschiedliche gedreht. Dies fasst man mathematisch in einen Tensor, den Krümmungstensor.
Beispiel: Man nehme einen Ball (Erde) und einen Stift, den man am "Äquator" anlegt. Bewegt man den Stift zuerst ein Stück entlang des Äquators und dann zum "Nordpol" hat er eine andere Richtung, als wenn man ihn direkt zum Nordpol bewegt.

Answer 4

Ich denke mal, wenn du Nicht-Mathematiker bist, ist dieser Stoff definitiv zu hoch. Tensoren sind der Oberbegriff für Skalare, Vektoren und quadratische Matrizen. In der Tensoranalysis werden die Differential- und Differentialoperation auf Tensoren angewandt. In der Physik wird von Tensorfeldern gesprochen. Der Stoff umfasst 1 bis 2 Semester und dass ist nur unter Vorraussetzung der Kenntnisse der höheren Mathematik zu bewerkstelligen.

Also mal eben für einen Nicht-Mathematiker zu erklären was das ist, würde den Umfang von YC sprengen.

Answer 5

Das ist die Biegung einer trockenen Stulle in der prallen Sonne.