尤拉-柯西方程

Question

（1）2x^2*y''+4xy'+5y=0
（2）（xD^2+4D）y=0，y（1）=12，y'（1）=- 6


第一題我不知道要不要同除以2，算起來怪怪的
第二題不知如何下手

關於第一題
老師教的都直接寫 m^2+（a-1）m+b=0
所以我就直接寫2m^2+3m+5=0
或除以2再減變成m^2+m+5/2=0
怎算都算不出來

Answer 1

　　這兩個方程式都是齊次 ( homogenous ) 方程式，就是等號右邊皆為零，不用算特解，所以也不用除以 2x2 了，那我就直接算囉！*1. 2x2y'' + 4xy' + 5y = 0sol：　　令 y= xm 代入 2x2y'' + 4xy' + 5y = 0　　→ 2m( m - 1 ) + 4m + 5 = 0　　→ 2m2 + 2m + 5 = 0 ～ auxiliary equation　　→ m = - 0.5 ± 1.5 i ～ complex conjugate roots　　→ y = x - 0.5 ( c1cos 1.5 ln│x│+ c2sin 1.5 ln│x│) #*2. ( xD2 + 4D ) y = 0 , y(1) = 12 , y'(1) = - 6sol：　　乍看之下不像是 Cauchy - Euler equation，好像少了一個〝x〞，但原式同除 x 可得：　　[ D2 + ( 4／x )D ] y = 0 ～ Cauchy - Euler equation　　一樣是 Cauchy - Euler equation，所以一樣令 y= xm 代入 [ D2 + ( 4／x )D ] y = 0　　→ m( m - 1 ) + 4m = 0　　→ m2 + 3m = 0 ～ auxiliary equation　　→ m = 0 , - 3 ～ two distinct real roots　　→ y = c1 + c2x - 3　　y(1) = 12 → x = 1 , y = 12　　→ c1 + c2 = 12　　y' = - 3c2x - 4　　y'(1) = - 6 → x = 1 , y = - 6　　→ - 6 = - 3c2 → c2 = 2　　又 c1 + c2 = 12 → c1 = 10　　→ y = 10 + 2x - 3 #*　　希望以上回答能幫助您。

2006-11-03 01:11:40 補充：
　　...... 你們老師不是叫你們記 m^2 + ( a - 1 )m + b = 0 這個式子吧！這個式子不用記啊！

　　這是由 (x^2)y'' + axy' + by = 0，令 y = x^m 推導得到的，現在的題目是 ( 2x^2 )y'' + 4xy' + 5y = 0，注意看第一項(x^2)y''的係數是〝1〞，您的題目是〝2〞，所以不能直接代 m^2 + ( a - 1 )m + b = 0

2006-11-03 01:11:53 補充：
　　除非一開始就把方程式除以〝2〞，將 (x^2)y'' 這項的係數變為〝1〞，這樣才能直接用 m^2 + ( a - 1 )m + b = 0

　　不過我是不記這個方程式啦！因為很占腦容量，像我在解答時這樣寫，一樣很快喔！

Answer 2

之後想想，我除以2的答案是對的
只是沒把答案y = x - 0.5 ( c1cos 1.5 ln│x│+ c2sin 1.5 ln│x│)表示出來，可能還是缺乏信心，認為自己算的是錯的

2006-11-03 08:55:55 補充：
承上，因為這題沒有附解答，所以...我應該要對自己有信心才行T︵T