L'Hamiltoniano quantistico per un elettrone libero è (h*h/8pi*pim)*nabla al quadrato ?

Question

Giusto?Se ce una ragazza che mi risponde mi rende un uomo felice...se mi da anche le autosoluzioni e autovalori gliene ne sono grato

Answer 1

Non sono una ragazza..ma ti rispondo lo stesso..per arrivare all'Hamiltoniano ..caso quasi-classico..perche h è la costante di Plank comunque devi partire dalla eq. di Scr. S1/2m(Op.ro)^2 - Sih/2m(Op.ro) = E-U dove phi = e^-i/h*ro
E poi devi approssimare la situazione quasi classica dove la lunghezza d'onda della particella è piccola.
In questo caso sviluppi ro in una serie di potenze di h.
Quindi nel caso di una sola particella diventa:
i/2mro'^2 - ih/2,ro'' = E - U(x)
Una prima approssimazione diventa ro zero = radice di 2m(E-U)
questo nel caso do ro = ro0
Ma questa approssimazione non è applicabile con la quantità di moto piccole..infatti per p(x) = 0 la lung.d'onda di De Broglie tende a infinito.
Quindi occorre aggiungere gli altri termini della serie.. e cosi via uno dei casi è la Hamitoniana che hai detto che esprime uno dei valori di ro della serie.
VComunque quella formula l'hai scritta male..riscrivila.

Answer 2

L'equazione da risolvere è, come hai scritto anche tu:
-h^2/(8*pi^2*m)phi(r)=E*phi(r) , dove phi è la generica autofunzione dipendente dal vettore posizione r (in un caso stazionario non è presente la dipendenza dal tempo, che, comunque, sarebbe sempre del tipo di una fase esponenziale) e E è il corrispondente autovalore. Le autofunzioni generalizzate (poichè non appartenenti a L2(R3)) sono le onde piane: phi(r)=phi(0)*exp(+-i*k*r), dove k è il vettore numero d'onda (k=2*pi*p/h, con p il momento dell'elettrone) e gli autovalori sono continui: E=p^2/(2*m). Prova a verificare queste soluzioni per sostituzione nell'equazione di prima.