工程數學的一些問題疑問

Question

1.(D^2+4I)y=cosh2x
2.(x^2*D^2+xD-1/4I)y=3x^(-1)+3x
3.(x^2*D^2-2xD+2I)y=x^3sinx
4.(x^2*D^2+xD-4I)y=1/(x^2)
5.(D^2+I)y=secx-10sin5x

Answer 1

1. ( D2 + 4I ) = cosh 2xsol：　　yh = c1cos 2x + c2sin 2x ～ homogenous solution　　Let Q = cosh 2x　　　  yp = u1y1 + u2y2 = u1 cos 2x + u2 sin 2x　　W =│　cos 2x　sin 2x　│= 2　　　   │- 2 sin 2x　2 cos 2x│　　u1 =∫( - y2Q／W )dx　　　 = ( - 1／2 )∫( sin 2x cosh 2x )dx　　　 = ( 1／8 )( cosh 2x cos 2x - sinh 2x sin 2x )　　u2 =∫( y1Q／W )dx　　　 = ( 1／2 )∫( cos 2x cosh 2x )dx　　　 = ( 1／8 )( cosh 2x sin 2x + sinh 2x cos 2x )　　yp = u1 cos 2x + u2 sin 2x　　　 = ( 1／8 )( cosh 2x cos2 2x - sinh 2x cos 2x sin 2x + cosh 2x sin2 2x + sinh 2x sin 2x cos 2x )　　　 = ( 1／8 )( cosh 2x )　　→ yp = ( 1／8 )( cosh 2x ) ～ particular solution*2. ( x2D2 + xD - 0.25I ) y = 3x - 1 + 3xsol：　　yh = c1x - 0.5 + c2x 0.5 ～ homogenous solution　　Let Q = 3x - 3 + 3x - 1　　　   yp = u1y1 + u2y2 = u1 x - 0.5 + u2 x 0.5　　W =│　x - 0.5　　　x 0.5  │= x - 1　　　   │- 0.5x - 1.5　0.5x - 0.5│　　u1 =∫( - y2Q／W )dx　　　 =∫[ - x 0.5( 3x - 3 + 3x - 1 )／x - 1 ]dx　　　 =∫- ( 3x - 1.5 + 3x - 0.5 )dx　　　 = 6x - 0.5 - 6x 0.5　　u2 =∫( y1Q／W )dx　　　=∫[ x - 0.5( 3x - 3 + 3x - 1 )／x - 1 ]dx　　　=∫( 3x - 2.5 + 3x - 0.5 )dx　　　= - 2x - 1.5 + 6x 0.5　　yp = u1 x - 0.5 + u2 x 0.5　　　 = 6x - 1 - 6 - 2x - 1 + 6x　　　 = 4x - 1 + 6x - 6　　→ yp = 4x - 1 + 6x - 6 ～ particular solution*3. ( x2D2 - 2xD + 2I ) y = x3 sin xsol：　　yh = c1x + c2x2 ～ homogenous solution　　Let Q = x sin x　　　   yp = u1y1 + u2y2 = u1 x + u2 x2　　W =│x　x2 │= x2　　　   │1　2x│　　u1 =∫( - y2Q／W )dx　　　 =∫- x sin x dx　　　 = x cos x + sin x　　u2 =∫( y1Q／W )dx　　　 =∫sin x dx　　　 = - cos x　　yp = u1 x + u2 x2　　　 = x2 cos x + x sin x - x2 cos x　　　 = x sin x　　→ yp = x sin x ～ particular solution*4. ( x2D2 + xD - 4 ) y = ( 1／x2 )sol：　　yh = c1x - 2 + c2x2 ～ homogenous solution　　Let Q = ( 1／x4 )　　　   yp = u1y1 + u2y2 = u1 x - 2 + u2 x2　　W =│　x - 2　x2 │= 4x - 1　　　   │- 2x - 3　2x│　　u1 =∫( - y2Q／W )dx　　　 = - ( 1／4 )∫( 1／x )dx　　　 = - ( 1／4 ) ln│x│　　u2 =∫( y1Q／W )dx　　　 = ( 1／4 )∫( 1／x5 )dx　　　 = - ( 1／16 ) x - 4　　yp = u1 x - 2 + u2 x2　　　 = - ( x - 2／4 ) ln│x│- ( x - 2／16 )　　→ yp = - ( x - 2／4 ) ln│x│- ( x - 2／16 ) ～ particular solution*　　貼四題的量已經是極限了，我認為是系統的問題，因為應該還不到兩千字，我都故意只寫特解求法，但還是超過字數，其實這幾題重點是在用參數變異法算特解，齊次解您一定會算了，通解不過是齊次解與通解相加。*　　希望以上回答能幫助您。