Gostaria de saber como calcular detalhadamente as integrais apresentadas abaixo:?

Question

(a) ∫ (√x + lnx) / x dx
Intervalor (16; 0)

(b) ∫ x*√x+1 dx
Intervalo (8; 3)

(c)∫ x*e^2x dx
Intervalo (2; 0);

Obrigado!!!

Answer 1

Bom vou tentar ajudar faz tempo q não vejo isso e tb cálculo não é meu forte hehe

(a) ∫ (√x + lnx) / x dx =
∫ √x/x dx + ∫ lnx/x dx =
∫ x^1/2/x dx + ∫ lnx/x dx =
∫ x^-1/2 dx + ∫ lnx/x dx =
[2x^1/2] +∫ lnx/x dx =

Fazendo:
u=lnx du=1/x dx

[2x^1/2] +∫ u du =
[2x^1/2] + [u²/2] =
[2x^1/2] + [(ln x)²/2]


(c)∫ x*e^2x dx

Fazendo :

u= x -> du = dx

dv =e^2x dx -> v= (e^2x)/2

Assim:

∫ x*e^2x dx =
∫ u dv =
uv -∫ vdu =
x *(e^2x)/2 - ∫ (e^2x)/2 dx =
(x *e^2x)/2 - 1/2 ∫ e^2x dx =
(x *e^2x)/2 - 1/2 (e^2x/2) =
(x *e^2x)/2 - 1/4*e^2x

Answer 2

só esclarecendo, estas não são integrais impróprias...........Uma integral imprópria possue seus limites de integração infinitos...
Estas são integrais indefinidas...............

Indefinida não tem nada haver com imprópria!!!!!!!1111

Answer 3

a) ∫ (√x + lnx) / x dx =
∫ √x / x dx + ∫ lnx / x dx = m + n

m=∫ √x / x dx = ∫ x^1/2 / x^2/2 dx = ∫ x^(1/2 -2/2) dx
m = ∫ x^-1/2 dx = 2*x^1/2 +c'

n = ∫ lnx / x dx
u = ln x
du = 1/x dx
n = ∫ u du = u²/2 + c'' = (ln x)²/2 + c''

Entao (c'+c''=c):
∫ (√x + lnx) / x dx = 2*x^1/2 + (ln x)²/2 + c

b) ∫ x*√x+1 dx =
∫ x^3/2+1 dx =
∫ x^3/2 dx + ∫ 1 dx =
2/5*x^5/2 + x + c


c)∫ x*e^2x dx =
integral por partes:
∫udv = uv - ∫vdu
u=x dv=e^2xdx
du=dx v=1/2*e^2x

entao:
∫ x*e^2x dx = x/2*e^2x -∫1/2*e^2x dx

∫ x*e^2x dx = x/2*e^2x -1/4*e^2x + c

Answer 4

(a)Essa é uma integral imprópria, pois 1/x e ln(x) não estão definidos no 0. Voce deve então tomar limite de s tendendo a 0 da integral de s a 16 .
Separe então na soma de duas integrais. A primeira é sqrt(x)/x=x^(-1/2), cuja integral é 2sqrt(x), que depois do limite feito dá 4.
A segunda é integral de ln(x)/x. Faça u=ln(x), então du=1/xdx e a integral udu=u^2/2=ln(x)^2/2. Substituindo dá lim(ln(16)^2/2-ln(s)^2/2) . Como o limite de s tendendo a zero de ln(s) tende a -infinito, ln(s)^2 tende a + infinito, e esta integral é divergente.
(c) Essa é simples. Faça por partes. Chame u=x e dv=e^2x,
então du=dx e v=e^2x/2.
A integral fica x*e^2x/2-Int(e^2x/2dx) = x*e^2x/2-e^2x/4. Calculando de 0 a 2 dá 3e^4 - 1/4
(b) Faça (x+1)=u^2, então dx=2udu, e x=u^2-1. A integral fica (u^2-1)*u^2*2udu = (2u^5-2u^3)du = 2u^6/6 -2u^4/4. Substitua o (x+1) no lugar do u, e calcule de 3 a 8 (uma máquina de calcular ajuda).
Voce pode também fazer a substituição (x+1)=u, então du=dx, e
x=u-1. A integra fica (u-1)u^(1/2)du = u^(3/2)-u^(1/2)du = 2/5u^(5/2)-2/3u^(3/2). Substitua (x+1) no lugar do u e calcule de 3 a 8.
Um abraço e boa sorte.

Answer 5

As integrais apresentadas são realmente simples de serem resolvidas, motivo pelo qual não vou resolvê-las.

Answer 6

Vou tentar te ajudar. Estou no Cálculo IV e no momento estou trabalhando com EDE e portanto, derivadas. Mas essas integrais aí... Vejamos... Vou tentar resolver só a (a), as outras vão mais ou menos pelo mesmo caminho.
raiz(x) = x^1/2 e o x que está dividindo toda f(x) pode passar pra cima assim x^-1, então vc vai ficar com uma equação assim:
integral de x^1/2+ln(x)+x^-1 dx. Só que x^1/2 + x^-1 é igual a x^-1/2. Pronto, agora eu já rearranjei f(x) pra você. Pelo que eu lembro (e daí eu n tenho muita certeza, mas acho que é isso) para integrais definidas você pode fazer integral de f(x)+g(x) = integral de f(x) + integral de g(x) e daí é só integrar o x^-1/2 pela formula de de u^m e o ln(x) pela fórmula específica. Eu não tenho certeza dessa última parte...