Mostre que,se A é um domínio de integridade, então se a pertence a A , a diferente a 0 temos ab=ac->b=c.

Question

Me ajude vou entregar meu exercicio hoje, e tô perdido na materia! por favor!

Answer 1

Como A é um domínio de integridade, o produto de dois elementos é nulo se, e e somente se, um dos elementos for nulo.

Assumindo que A seja um anel, temos pelas propriedades dos anéis que ab = ac => ab - ac = 0, sendo 0 o elemento neutro para a adição definida em A. Pela propriedade distributiva do produto com relação à soma, temos que a(b-c) = 0. Como a<>0, a integridadr de A implica que b-c =0 => b + (-c) = 0. Somando-se c à direita, temos que b+ (-c) + c = 0 + c => b = c.

Answer 2

ab = ac ...subtraindo ac...
ab - ac = ac - ac
ab - ac = 0 ...propriedade do elemento neutro...
a(b-c) = 0 ...propriedade distributiva...
a = 0 ou b-c = 0 ...pois como estamos trabalhando num domínio de integridade, não há divisores de zero, isto é, o produto de dois elementos do domínio de integridade A será igual a 0 (zero) somente se um dos fatores for igual a zero. Como a(b-c) = 0, então ou a=0 ou b-c=0. Como o problema nos diz que a é diferente de zero, então b-c=0, ou seja, b=c.