Seja A um anel tal que x²=x para todo x pertencente a A. Mostre que é comutativo.?

Question

Me ajude vou entregar meu exercicio hoje, e tô perdido na materia! por favor!

Answer 1

Pode ter uma forma mais simples de se resolver, mas
essa aqui da conta. Vamos considerar as
caracteristicas do Anel L(+,.), com A,B e C
pertencentes à L:
1) A+B=B+A;
2) A+(B+C) = (A+B)+C;
3) existe o elemento 0, tal que A+0=A;
4) para todo A, existe um elemento B, tal que
A+B=0. Esse elemento B é chamado (-A);
5) A(BC)=(AB)C;
6) A(B+C)=AB+AC.

Quando aplicar uma das propriedades, indicarei o
numero dela entre colchetes antes de igualdade. A
propriedade 7 sera AA=A.

Queremos provar que para todo A e B pertencente à L,
AB=BA.

Note que estamos absolutamente amarrados aos 6
axiomas, mais a propriedade 7, mais os fechamentos.
Nao podemos dizer que A(-B)=-AB sem provar. Vamos
provar isso:

B+(-B) [4]= 0; multiplicando pela esquerda os dois
lados desta igualdade por A:
AB+A(-B) = 0 e somando (-AB) aos dois lados da
igualdade pela esquerda:

(-AB)+AB+A(-B) [4]= A(-B)=(-AB).

De forma semelhante, conluimos que (-B)A=(-BA).

Como as igualdades acima sao validas para todo
elemento de L,

B(-B)= (-BB) = (-B). (eq. 1)

Mas, -B+B [4]= 0 e multiplicando pela direita por
(-B), temos:

(-B)(-B)+B(-B) = 0. Como (-B)(-B) [7]= -B :

-B+B(-B) = 0, e somando pela esquerda os dois lados da
equaçao por B:

B+(-B)+B(-B) [4]= B(-B) = B (eq. 2)

Comparando a eq. 1 com a eq. 2, vemos que

B=(-B) (eq. 3)

Se A e B sao elementos de L, entao (A+B) também é.
Logo:

(A+B) [7]= (A+B)(A+B) [6]= AA+AB+BA+BB
[7]= A+AB+BA+B [4],

ou seja, A+B= A+AB+BA+B. Somando os lados desta igualdade por (-A) pela esquerda e (-B) pela direita:

AB+BA=0,

mas pela eq. 3, podemos reescrever a ultima equaçao
como:

AB+(-B)A = 0

como ja vimos que (-B)A=(-BA):

AB+(-BA)=0.

Por fim, somando BA pela esquerda nos dois lados na
eq. acima, temos que:

AB+(-BA)+BA [4]= BA, ou seja; AB=BA.

Nao sei se esta muito ou pouco detalhado, mas ao menos
esta correta.

Abraços.

Answer 2

Sejam os elementos a e b do anel A; vamos calcular (a+b)²= a*a+2*a*b+b*b =a+2a*b+b; agora (b+a)²= b*b+2*b*a+a*a =a+2b*a+b; subtraindo uma da outra: (a+b)²-(b+a)²= a+2a*b+b-a-2b*a-b (como a+b=b+a, isto é, a operação de adição no anel é suposta comutativa), 0=2a*b-2b*a ==> 0=a*b-b*a ==> a*b=b*a.

Answer 3

Queremos mostrar que para quaquer x e y em A, vale xy = yx. Como cada elemento de A é igual ao seu próprio quadrado, então:
x = xx, y = yy, xy = (xy)(xy), (x+y)=(x+y)(x+y) etc

(xy)(x-y) =
(xy)(x-y)(x-y)=
(xy)(xx+yy-xy-yx) =
xyxx+xyyy-xyxy-xyyx =
xyx+xy-xy-xyx = 0

logo (xy)(x-y) = 0, para todos x,y em A
tomando y=-x
(x(-x))(x-(-x)) = 0
(-xx)(x+x) = 0
(-x)(x+x) = 0
-xx - xx = 0
-x - x = 0
-(-x-x) = -0
x+x=0
x=-x [*] (todo elemento de A é igual a seu simétrico aditivo)
onde [*] vale para todo x em A.

Assim:

x+y =
(x+y)(x+y) =
xx+yy+xy+yx =
x+y+xy+yx =
x+y+xy-yx= (lembre que de [*], yx=-yx)

logo

x+y = x+y+xy-yx ...somando -(x+y) à esquerda tem-se...
0 = xy - yx, donde
xy = yx para todos x,y em A. Logo A é comutativo.

Answer 4

Único valor para x= 1 pois; x2=x
1x1=1

Answer 5

Bom, meu amigo, x²=x só é válido para 0 e 1. Tem certeza que o enunciado da questão é esse mesmo? Não tá fazendo muito sentido...

Answer 6

Como disse nosso amigo x² = x somente pra x = 0 e 1

Um anel me parece mais com uma circunferencia q eh algo do tipo x² + y² = R