Considere a região G do plano Oxy, situada abaixo do gráfico da função?

Question

f:x => y = x *(Raiz quadrada de x² - x + 3), limitada inferiormente pelo eixo Ox e lateralmente pelo par de retas x=0 e x=3.
(a) Faça um esboço cuidadoso da região G.
(b)Suponha que esta região seja rotacionada em torno do eixo Ox, de modo a produzir um sólido de revolução. Determine o volume deste sólido.

Answer 1

Ola
Seja f:[0,3]-->R, definida por f(x)= x *√( x² - x + 3).

(a) o esboço é impossivel ser feito por aqui, mas temos algumas dicas.
> Analise o dominio da f, D(f). Afirmamos que x²- x + 3>=0, com efeito. Fazendo x²- x + 3=0, temos o discriminante ∆=-11, logo nao existe raiz real para esta equaçao. Como a concavidade é voltada para cima, a=1>0, logo x²- x + 3>=0, estando a raiz quadrada bem definida para esta equaçao. Logo, D(f)=R.
> Observe ainda que, como 0<=x<=3, logo podemos fazer:
f(x)= x *√( x² - x + 3)=√x²*( x² - x + 3)=√( x^4 - x³ + 3*x²)
e fazendo g(x)=x^4 - x³ + 3*x², logo, f(x)=√g(x).
A partir desta equaçao substitua alguns pontos e tente esboçar o grafico.

(b) O volume do solido gerado pela curva f, entre os pontos x=0 e x=3, pode ser calculada pelo metodo do disco circular, ou seja:
V=Pi*∫[f(x)]² dx, onde a integral esta definida no intervalo [0,3]
==> V =Pi*∫[x *√( x² - x + 3)]² dx = Pi*∫[x²*( x² - x + 3)] dx
==> V=Pi*∫[x^4 - x³ + 3*x²] dx =Pi * [x^5/5 - x^4/4 + x^3] no intervalo [0,3].
Usando o teorema fundamental do calculo:
V=Pi * {[3^5/5 - 3^4/4 + 3^3] - [0^5/5 - 0^4/4 + 0^3]}
==> V= Pi*{243/5 - 81/4 + 27} = Pi*(1107/20)
Portanto, o volume sera:
V = 1107*Pi/20

Espero que lhe ajude
Abraço

Answer 2

Bela pergunta, o grafico eu ñ sei fazer aqui, + tenho um programa q faiz ele, + ñ estou em casa e + tarde eu passo, mada ae um e-mail q eu mando o link... e a are do solido eu ñ sei, + a area formada no graico sai facil por integral...